Што е анализа на состојбата?

Што е анализа на состојбата?

Дефиниција на анализа на состојбата

Анализата на состојбата на системите за контрола е метод за анализа на иедноставни и комплексни системи користејќи го сет од променливи за да го опишат нивното однесување во текот на времето.

Јавности на состојбата

Нека изведеме јавности на состојбата за систем кој е линеарен и временски инваријантен.

Нека разгледаме систем со многу входи и многу излези кој има r входи и m излези.

Каде што, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

И m = y1, y2 ……….. ym.

Сега земаме n променливи на состојба за да го опишеме дадениот систем, затоа n = x1, x2, ……….. xn.

Такоѓе дефинираме вектори на вход и излез како,

Транспониран вектор на вход,

Каде што, T е транспонирана матрица.

Транспониран вектор на излез,

Каде што, T е транспонирана матрица.

Транспониран вектор на состојба,

Каде што, T е транспонирана матрица.

Овие променливи се поврзани со сет од равенки кои се запишани подолу и познати како јавности на состојбата.

Представување на моделот на состојбата со помош на трансферна функција

Декомпозиција : Дефинирана е како процес на добивање на моделот на состојбата од дадена трансферна функција. Сега можеме да декомпонираме трансферната функција со три различни начини:

• Директна декомпозиција,

• Каскадна или серијска декомпозиција,

• Паралелна декомпозиција.

Во сите горепоменати методи на декомпозиција, прво конвертираме дадената трансферна функција во диференцијални равенки, кои се нарекуваат и динамички равенки. Потоа, кога ќе ги конвертираме во диференцијални равенки, ќе го земеме инверзниот Лапласов трансформација на горната равенка, и според типот на декомпозиција, можеме да создадеме модел. Можеме да ги претставиме сите видови на трансферни функции во модел на состојба. Имаме различни видови на модели, како што се електрични модели, механички модели итн.

Изразување на матрицата на трансфер со A, B, C и D. Дефинираме матрицата на трансфер како Лапласова трансформација на излезот до Лапласовата трансформација на входот.Поново запишуваме јавностите на состојбата и земаме Лапласовата трансформација на двете јавности (под претпоставка дека почетните услови се еднакви на нула) имаме

Можеме да напишеме равенката како

Каде што, I е единична матрица

Сега заменувајќи ја вредноста на X(s) во равенката Y(s) и ставајќи D = 0 (што значи дека е нулта матрица) имаме

Инверзна матрица може да се замени со прилагодена матрица поделена со детерминанта на матрицата, сега поново преписувајќи го изразот имаме

|sI-A| исто така е познат како карактеристична равенка кога е јавена еднаква на нула.

Концепт на својствени вредности и својствени вектори

Корените на карактеристичната равенка која сме ја описале горе се познати како својствени вредности или својствени вредности на матрицата A.Сега има некои својства поврзани со својствените вредности и овие својства се запишани подолу-

• Било која квадратна матрица A и нејзината транспонирана At имаат истите својствени вредности.

• Збирот на својствените вредности на било која матрица A е еднаков на следата на матрицата A.

• Производот на својствените вредности на било која матрица A е еднаков на детерминантата на матрицата A.

• Ако помножиме скаларна количина со матрицата A, тогаш својствените вредности исто така се множат со истата вредност на скаларот.

• Ако инвертираме дадената матрица A, тогаш нејзините својствени вредности исто така се инвертираат.

• Ако сите елементи на матрицата се реални, тогаш својствените вредности кои одговараат на тоаа матрица се или реални или постојат во комплексен конјугиран пар.

Сега постои еден својствен вектор кој одговара на една својствена вредност, ако исполнува следната услов (ek × I – A)Pk = 0. Каде што, k = 1, 2, 3, ……..n.

Матрица на преход на состојба и одговор на нулта состојба

Занимаваме се за изведување на изрази за матрицата на преход на состојба и одговор на нулта состојба. Поново земаме јавностите на состојбата што ги изведовме горе и земаме нивната Лапласова трансформација имаме,

Сега поново преписувајќи ја горната равенка имаме

Нека [sI-A] -1 = θ(s) и земаме инверзната Лапласова трансформација на горната равенка имаме

Изразот θ(t) е познат како матрица на преход на состојба.

L-1.θ(t)BU(s) = одговор на нулта состојба.

Сега нека дискутираме некои од својствата на матрицата на преход на состојба.

• Ако замениме t = 0 во горната равенка, тогаш ќе добиеме 1. Математички можеме да напишеме θ(0) =1.

• Ако замениме t = -t во θ(t), тогаш ќе добиеме инверзна на θ(t). Математички можеме да напишеме θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Такође имаме друг важен својство [θ(t)]n = θ(nt).