Co to jest analiza przestrzeni stanów

Czym jest analiza przestrzeni stanów?

Definicja analizy przestrzeni stanów

Analiza przestrzeni stanów systemów sterowania to metoda analizy zarówno prostych, jak i złożonych systemów za pomocą zestawu zmiennych opisujących ich zachowanie w czasie.

Równania przestrzeni stanów

Proponujemy wyprowadzenie równań przestrzeni stanów dla systemu, który jest liniowy i niezmienny w czasie.

Załóżmy system wielowejściowy i wielowyjściowy, który ma r wejść i m wyjść.

Gdzie, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

A m = y1, y2 ……….. ym.

Teraz bierzemy n zmiennych stanu do opisania danego systemu, więc n = x1, x2, ……….. xn.

Definiujemy również wektory wejścia i wyjścia jako,

Transpozycja wektorów wejścia,

Gdzie, T oznacza transpozycję macierzy.

Transpozycja wektorów wyjścia,

Gdzie, T oznacza transpozycję macierzy.

Transpozycja wektorów stanu,

Gdzie, T oznacza transpozycję macierzy.

Te zmienne są powiązane przez zestaw równań, które są zapisane poniżej i znane są jako równania przestrzeni stanów.

Reprezentacja modelu stanowego za pomocą funkcji przejścia

Dekompozycja : Jest to proces uzyskiwania modelu stanowego z danej funkcji przejścia. Możemy teraz dekomponować funkcję przejścia na trzy różne sposoby:

• Bezpośrednia dekompozycja,

• Dekompozycja kaskadowa lub szeregowa,

• Równoległa dekompozycja.

We wszystkich powyższych metodach dekompozycji najpierw konwertujemy daną funkcję przejścia na równania różniczkowe, które nazywane są również równaniami dynamicznymi. Po przekonwertowaniu na równania różniczkowe bierzemy odwrotną transformację Laplace'a powyższego równania, a następnie w zależności od rodzaju dekompozycji tworzymy model. Możemy reprezentować dowolny typ funkcji przejścia w modelu stanowym. Mamy różne typy modeli, takie jak model elektryczny, model mechaniczny itp.

Wyrażenie macierzy transmitancji w zależności od A, B, C i D. Definiujemy macierz transmitancji jako transformację Laplace'a wyjścia do transformacji Laplace'a wejścia.Na nowo pisząc równania stanowe i biorąc transformację Laplace'a obu równań stanowych (przyjmując warunki początkowe równe zero) mamy

Możemy zapisać równanie jako

Gdzie, I jest macierzą jednostkową

Teraz podstawiając wartość X(s) do równania Y(s) i przyjmując D = 0 (co oznacza, że jest to macierz zerowa) mamy

Odwrócenie macierzy można zastąpić przez dopełnienie macierzy podzielone przez wyznacznik macierzy, a teraz na nowo pisząc wyrażenie mamy

|sI-A| jest również znane jako równanie charakterystyczne, gdy przyrównane do zera.

Koncepcja wartości własnych i wektorów własnych

Pierwiastki równania charakterystycznego, które opisaliśmy powyżej, są znane jako wartości własne lub wartości własne macierzy A.Istnieją pewne właściwości związane z wartościami własnymi, a te właściwości są wymienione poniżej -

• Dowolna kwadratowa macierz A i jej transpozycja At mają takie same wartości własne.

• Suma wartości własnych dowolnej macierzy A jest równa śladowi macierzy A.

• Iloczyn wartości własnych dowolnej macierzy A jest równy wyznacznikowi macierzy A.

• Jeśli pomnożymy skalarną wartość przez macierz A, to wartości własne są również mnożone przez tę samą wartość skalarną.

• Jeśli odwrotnie podamy daną macierz A, to jej wartości własne są również odwrotnie.

• Jeśli wszystkie elementy macierzy są rzeczywiste, to wartości własne odpowiadające tej macierzy są albo rzeczywiste, albo istnieją w parach sprzężonych zespolonych.

Istnieje jeden wektor własny odpowiadający jednej wartości własnej, jeśli spełnia następujący warunek (ek × I – A)Pk = 0. Gdzie, k = 1, 2, 3, ……..n.

Macierz przejścia stanowego i odpowiedź w stanie zerowym

Interesuje nas tutaj wyprowadzenie wyrażeń dla macierzy przejścia stanowego i odpowiedzi w stanie zerowym. Ponownie biorąc równania stanowe, które wyprowadziliśmy powyżej, i biorąc ich transformację Laplace'a, mamy,

Teraz na nowo pisząc powyższe równanie mamy

Niech [sI-A] -1 = θ(s) i biorąc odwrotną transformację Laplace'a powyższego równania, mamy

Wyrażenie θ(t) jest znane jako macierz przejścia stanowego.

L-1.θ(t)BU(s) = odpowiedź w stanie zerowym.

Teraz omówmy niektóre właściwości macierzy przejścia stanowego.

• Jeśli podstawimy t = 0 do powyższego równania, to otrzymamy 1. Matematycznie możemy napisać θ(0) =1.

• Jeśli podstawimy t = -t do θ(t), to otrzymamy odwrotność θ(t). Matematycznie możemy napisać θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Mamy również inną ważną właściwość [θ(t)]n = θ(nt).