Vad är tillståndsrumsanalys?

Vad är tillståndsrydanalys?

Definition av tillståndsrydanalys

Tillståndsrydanalys av reglersystem är en metod för att analysera både enkla och komplexa system genom att använda en uppsättning variabler för att beskriva deras beteende över tid.

Tillståndsryd ekvationer

Låt oss härledda tillståndsrydekvationer för ett system som är linjärt och tidsinvariant.

Vi betraktar ett system med flera ingångar och flera utgångar, vilket har r ingångar och m utgångar.

Där, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Och m = y1, y2 ……….. ym.

Nu använder vi n tillståndvariabler för att beskriva det givna systemet, därför n = x1, x2, ……….. xn.

Vi definierar också ingångs- och utgångsvektorer som,

Transponat av ingångsvektorer,

Där, T är transponatet av matrisen.

Transponat av utgångsvektorer,

Där, T är transponatet av matrisen.

Transponat av tillståndsvektorer,

Där, T är transponatet av matrisen.

Dessa variabler är relaterade genom en uppsättning ekvationer som skrivs nedan och kallas tillståndsrydekvationer.

Representation av tillståndsmodell med överföringsfunktion

Dekomposition: Detta definieras som processen att erhålla tillståndsmodellen från den givna överföringsfunktionen. Nu kan vi dekomponera överföringsfunktionen på tre olika sätt:

• Direkt dekomposition,

• Kaskad- eller serie dekomposition,

• Parallell dekomposition.

I alla ovan nämnda dekompositionsmetoder konverterar vi först den givna överföringsfunktionen till differentialekvationer, som också kallas dynamiska ekvationer. Efter omvandlingen till differentialekvationer tar vi invers Laplace-transformen av ovanstående ekvation, och beroende på typen av dekomposition kan vi skapa modellen. Vi kan representera någon typ av överföringsfunktion i tillståndsmodell. Vi har olika typer av modeller som elektriska modeller, mekaniska modeller osv.

Uttryck för överföringsmatris i termer av A, B, C och D. Vi definierar överföringsmatrisen som Laplace-transformen av utgången till Laplace-transformen av ingången.Genom att skriva tillstådsekvationerna igen och ta Laplace-transformen av båda tillstådsekvationerna (med antagande att initiala villkor är lika med noll) har vi

Vi kan skriva ekvationen som

Där, I är en identitetsmatris

Nu ersätter vi värdet av X(s) i ekvationen Y(s) och sätter D = 0 (vilket betyder att det är en nollmatris) har vi

Inversen av matrisen kan ersättas av adjunkten av matrisen delat med determinanten av matrisen, nu genom att omskriva uttrycket har vi

|sI-A| kallas också karakteristisk ekvation när den sätts lika med noll.

Koncept av egenvärden och egenvektorer

Rötterna till den karakteristiska ekvation som vi har beskrivit ovan kallas egenvärden eller egenvärden av matris A.Nu finns det vissa egenskaper relaterade till egenvärden och dessa egenskaper anges nedan-

• Någon kvadratisk matris A och dess transponat At har samma egenvärden.

• Summan av egenvärdena för någon matris A är lika med spåret av matrisen A.

• Produkten av egenvärdena för någon matris A är lika med determinant av matrisen A.

• Om vi multiplicerar en skalär kvantitet med matris A så multipliceras egenvärdena också med samma skalärkvants värde.

• Om vi inverterar den givna matrisen A så inverteras dess egenvärden också.

• Om alla element i matrisen är reella så är egenvärdena som motsvarar den matrisen antingen reella eller existerar i komplexkonjugerade par.

Nu finns det en egenvektor som motsvarar ett egenvärde, om den uppfyller följande villkor (ek × I – A)Pk = 0. Där, k = 1, 2, 3, ……..n.

Tillståndsovergångsmatris och nolltillståndsrespons

Vi är här intresserade av att härleda uttryck för tillståndsovergångsmatrisen och nolltillståndsresponsen. Genom att återigen ta tillstådsekvationerna som vi har härlett ovan och ta deras Laplace-transformation har vi,

Nu genom att omskriva ovanstående ekvation har vi

Låt [sI-A] -1 = θ(s) och genom att ta invers Laplace-transformen av ovanstående ekvation har vi

Uttrycket θ(t) kallas tillståndsovergångsmatris.

L-1.θ(t)BU(s) = nolltillståndsrespons.

Nu låt oss diskutera några av egenskaperna hos tillståndsovergångsmatrisen.

• Om vi ersätter t = 0 i ovanstående ekvation får vi 1. Matematiskt kan vi skriva θ(0) =1.

• Om vi ersätter t = -t i θ(t) får vi inversen av θ(t). Matematiskt kan vi skriva θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Vi har också en annan viktig egenskap [θ(t)]n = θ(nt).