Τι είναι η ανάλυση του χώρου καταστάσεων;

Τι είναι η Ανάλυση του Χώρου Καταστάσεων;

Ορισμός της Ανάλυσης του Χώρου Καταστάσεων

Η ανάλυση του χώρου καταστάσεων των συστημάτων ελέγχου είναι μια μέθοδος για την ανάλυση τόσο απλών όσο και πολύπλοκων συστημάτων χρησιμοποιώντας ένα σύνολο μεταβλητών για να περιγράψουν τη συμπεριφορά τους στο χρόνο.

Εξισώσεις του Χώρου Καταστάσεων

Ας πάρουμε τις εξισώσεις του χώρου καταστάσεων για ένα σύστημα που είναι γραμμικό και αδιάφορο στο χρόνο.

Θεωρούμε ένα σύστημα με πολλαπλούς εισόδους και πολλαπλούς εξόδους που έχει r εισόδους και m εξόδους.

Όπου, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Και m = y1, y2 ……….. ym.

Τώρα, παίρνουμε n μεταβλητές κατάστασης για να περιγράψουμε το δοθέν σύστημα, άρα n = x1, x2, ……….. xn.

Επίσης, ορίζουμε τους διανύσματες εισόδου και εξόδου ως,

Μετατροπή των διανυσμάτων εισόδου,

Όπου, T είναι η μετατροπή του πίνακα.

Μετατροπή των διανυσμάτων εξόδου,

Όπου, T είναι η μετατροπή του πίνακα.

Μετατροπή των διανυσμάτων κατάστασης,

Όπου, T είναι η μετατροπή του πίνακα.

Αυτές οι μεταβλητές συνδέονται από ένα σύνολο εξισώσεων που είναι γραμμένες παρακάτω και είναι γνωστές ως εξισώσεις του χώρου καταστάσεων.

Παρουσίαση του Μοντέλου Κατάστασης με τη Συνάρτηση Μεταφοράς

Αποσύνθεση : Ορίζεται ως ο διαδικαστικός τρόπος εξαγωγής του μοντέλου κατάστασης από τη δοθείσα συνάρτηση μεταφοράς. Τώρα, μπορούμε να αποσυντεθούμε τη συνάρτηση μεταφοράς με τρεις διαφορετικούς τρόπους:

• Μετατροπή σε άμεση αποσύνθεση,

• Μετατροπή σε αλυσιδωτή ή σειριακή αποσύνθεση,

• Παράλληλη αποσύνθεση.

Σε όλους τους παραπάνω τρόπους αποσύνθεσης, πρώτα μετατρέπουμε τη δοθείσα συνάρτηση μεταφοράς σε διαφορικές εξισώσεις, που επίσης λέγονται δυναμικές εξισώσεις. Μετά τη μετατροπή σε διαφορικές εξισώσεις, θα πάρουμε την αντίστροφη μετατροπή Laplace της παραπάνω εξίσωσης, και σύμφωνα με τον τύπο αποσύνθεσης, μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο. Μπορούμε να παραστήσουμε οποιαδήποτε τύπο συνάρτησης μεταφοράς σε μοντέλο κατάστασης. Έχουμε διάφορους τύπους μοντέλων, όπως ηλεκτρικά μοντέλα, μηχανικά μοντέλα κλπ.

Εκφώνηση του Πίνακα Μεταφοράς σε σχέση με A, B, C και D. Ορίζουμε τον πίνακα μεταφοράς ως τη μετατροπή Laplace του εξόδου στη μετατροφή Laplace του εισόδου.Γράφοντας ξανά τις εξισώσεις κατάστασης και παίρνοντας τη μετατροπή Laplace των κατάστασης (υποθέτοντας ότι οι αρχικές συνθήκες είναι ίσες με μηδέν), έχουμε

Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση ως

Όπου, I είναι ο μοναδιαίος πίνακας

Τώρα, αντικαθιστώντας την τιμή του X(s) στην εξίσωση Y(s) και θέτοντας D = 0 (δηλαδή, ο πίνακας είναι μηδενικός), έχουμε

Η αντίστροφη του πίνακα μπορεί να αντικατασταθεί από την συμπληρωματική του πίνακα διαιρούμενη με τον προσδιοριστικό του πίνακα, τώρα, γράφοντας ξανά την έκφραση, έχουμε

|sI-A| είναι επίσης γνωστό ως χαρακτηριστική εξίσωση όταν ισοτιμείται με μηδέν.

Έννοια των Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης που έχουμε περιγράψει παραπάνω είναι γνωστές ως ιδιοτιμές ή ιδιοτιμές του πίνακα A.Υπάρχουν κάποιες ιδιότητες σχετικά με τις ιδιοτιμές και αυτές οι ιδιότητες είναι γραμμένες παρακάτω-

• Κάθε τετράγωνος πίνακας A και ο μετατροπή του At έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.

• Η άθροιση των ιδιοτιμών οποιουδήποτε πίνακα A είναι ίση με την ίχνος του πίνακα A.

• Το γινόμενο των ιδιοτιμών οποιουδήποτε πίνακα A είναι ίσο με τον προσδιοριστικό του πίνακα A.

• Εάν πολλαπλασιάσουμε έναν σκαλαρικό όρο με τον πίνακα A, τότε οι ιδιοτιμές επίσης πολλαπλασιάζονται με την ίδια τιμή του σκαλαρικού.

• Εάν αντιστρέψουμε τον δοθέν πίνακα A, τότε οι ιδιοτιμές επίσης αντιστρέφονται.

• Εάν όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι πραγματικά, τότε οι ιδιοτιμές που αντιστοιχούν σε αυτόν τον πίνακα είτε είναι πραγματικές είτε υπάρχουν σε πεπλεγμένα ζευγάρια.

Υπάρχει ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε μια ιδιοτιμή, αν ικανοποιεί την παρακάτω συνθήκη (ek × I – A)Pk = 0. Όπου, k = 1, 2, 3, ……..n.

Πίνακας Μεταβατικής Κατάστασης και Απόκριση Μηδενικής Κατάστασης

Είμαστε εδώ ενδιαφερόμενοι να πάρουμε τις εκφώνησεις για τον πίνακα μεταβατικής κατάστασης και την απόκριση μηδενικής κατάστασης. Ξανά, παίρνοντας τις εξισώσεις κατάστασης που έχουμε πάρει παραπάνω και παίρνοντας τη μετατροπή Laplace, έχουμε,

Τώρα, γράφοντας ξανά την παραπάνω εξίσωση, έχουμε

Ας [sI-A] -1 = θ(s) και παίρνοντας την αντίστροφη μετατροπή Laplace της παραπάνω εξίσωσης, έχουμε

Η έκφραση θ(t) είναι γνωστή ως πίνακας μεταβατικής κατάστασης.

L-1.θ(t)BU(s) = απόκριση μηδενικής κατάστασης.

Τώρα, ας συζητήσουμε μερικές από τις ιδιότητες του πίνακα μεταβατικής κατάστασης.

• Εάν αντικαταστήσουμε t = 0 στην παραπάνω εξίσωση, θα πάρουμε 1. Μαθηματικά, μπορούμε να γράψουμε θ(0) =1.

• Εάν αντικαταστήσουμε t = -t στο θ(t), θα πάρουμε την αντίστροφη του θ(t). Μαθηματικά, μπορούμε να γράψουμε θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Έχουμε επίσης μια άλλη σημαντική ιδ