Mikä on tila-avaruusanalyysi?

Mikä on tila-avaruusanalyysi?

Tila-avaruusanalyysin määritelmä

Ohjausjärjestelmien tila-avaruusanalyysi on menetelmä, jolla voidaan analysoida sekä yksinkertaisia että monimutkaisia järjestelmiä käyttämällä joukkoa muuttujia kuvaamaan niiden käyttäytymistä ajan myötä.

Tila-avaruusyhtälöt

Johdetaan tila-avaruusyhtälöt lineaariselle ja aikainvariantille järjestelmälle.

Oletetaan useita syötteitä ja useita ulostulon järjestelmä, jossa on r syötettä ja m ulostuloa.

Missä, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Ja m = y1, y2 ……….. ym.

Nyt otamme n tilamuuttujaa kuvaamaan annettua järjestelmää, joten n = x1, x2, ……….. xn.

Määrittelemme myös syöte- ja ulostulovektorit seuraavasti,

Syötevektorien transpoosi,

Missä, T on matriisin transpoosi.

Ulostulovektorien transpoosi,

Missä, T on matriisin transpoosi.

Tilavektorien transpoosi,

Missä, T on matriisin transpoosi.

Nämä muuttujat liittyvät toisiinsa joukolla yhtälöitä, jotka kirjoitetaan alla ja tunnetaan nimellä tila-avaruusyhtälöt.

Tila-mallin esitys siirtofunktion avulla

Hajottaminen : Se on prosessi, joka tarkoittaa tila-mallin saamista annetusta siirtofunktiosta. Nyt voimme hajottaa siirtofunktion kolmen eri tavalla:

• Suora hajottaminen,

• Kasvava tai sarjahajottaminen,

• Rinnakkainen hajottaminen.

Kaikissa yllä mainituissa hajottamismenetelmissä muunnamme ensin annetun siirtofunktion differentiaaliyhtälöihin, joita kutsutaan myös dynaamiseksi yhtälöiksi. Muunnoksen jälkeen otamme Laplacen käänteismuunnoksen yllä olevasta yhtälöstä, ja sen jälkeen vastaavan hajottamisen tyypin mukaan voimme luoda mallin. Voimme edustaa mitä tahansa siirtofunktiota tila-mallina. Meillä on erilaisia malleja, kuten sähkömalli, mekaaninen malli jne.

Siirtomatriisin ilmaisu A, B, C ja D:n avulla. Määrittelemme siirtomatriisin Laplacen muunnokseksi ulostulosta syötteen Laplacen muunnokseen.Kirjoittaessamme tilayhtälöt uudelleen ja ottamalla niiden Laplacen muunnoksen (olettaen, että alkuarvot ovat nollia) saamme

Voimme kirjoittaa yhtälön seuraavasti

Missä, I on yksikkömatriisi

Sijoittamalla nyt X(s):n arvon yhtälöön Y(s) ja asettamalla D = 0 (tarkoittaa, että se on nolla-matriisi) saamme

Matriisin käänteisarvo voidaan korvata matriisin adjungoituella jaettuna matriisin determinantilla, nyt uudelleenkirjoittaessa ilmauksen saamme

|sI-A| tunnetaan myös ominaisyhtälönä, kun se asetetaan nollaksi.

Omien arvojen ja omien vektorien käsite

Yllä kuvatun ominaisyhtälön juuret tunnetaan ominaisarvoina tai matriisin A ominaisarvoina.Nyt on joitakin ominaisuuksia, jotka liittyvät ominaisarvoihin, ja nämä ominaisuudet kirjoitetaan alla -

• Mikä tahansa neliömatriisi A ja sen transpoosi At ovat samoja ominaisarvoja.

• Mikä tahansa matriisin A ominaisarvojen summa on sama kuin matriisin A jälki.

• Mikä tahansa matriisin A ominaisarvojen tulo on sama kuin matriisin A determinantti.

• Jos kerromme matriisi A skalaariarvolla, ominaisarvot kerrotaan samalla skalaarin arvolla.

• Jos käännämme annetun matriisin A, sen ominaisarvot kääntyvät myös.

• Jos kaikki matriisin elementit ovat reaalisia, niin matriisiin liittyvät ominaisarvot ovat joko reaalisia tai kompleksikonjugaattipareina.

Nyt on olemassa yksi ominaisvektori, joka vastaa yhtä ominaisarvoa, jos se täyttää seuraavan ehdon (ek × I – A)Pk = 0. Missä, k = 1, 2, 3, ……..n.

Tila-siirtymämatriisi ja nollatilan vastaus

Olemme tässä kiinnostuneita tila-siirtymämatriisin ja nollatilan vastauksen lausekkeiden johtamisesta. Jälleen otamme tilayhtälöt, jotka olemme jo johdanneet, ja otamme niiden Laplacen muunnoksen, jolloin saamme

Nyt uudelleenkirjoittaessa yllä olevan yhtälön saamme

Olkoon [sI-A] -1 = θ(s) ja otetaan yllä olevan yhtälön Laplacen käänteismuunnos, jolloin saamme

Ilmaus θ(t) tunnetaan tila-siirtymämatriisina.

L-1.θ(t)BU(s) = nollatilan vastaus.

Nyt keskustelemme joistakin tila-siirtymämatriisin ominaisuuksista.

• Jos sijoitamme t = 0 yllä olevaan yhtälöön, saamme 1. Matemaattisesti voimme kirjoittaa θ(0) =1.

• Jos sijoitamme t = -t θ(t):ään, saamme θ(t):n käänteisarvon. Matemaattisesti voimme kirjoittaa θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Meillä on myös toinen tärkeä ominaisuus [θ(t)]n = θ(nt).