স্টেট স্পেস এনালিসিস কি?

স্টেট স্পেস বিশ্লেষণ কি?

স্টেট স্পেস বিশ্লেষণের সংজ্ঞা

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার স্টেট স্পেস বিশ্লেষণ হল একটি পদ্ধতি, যা সময়ের সাথে তাদের আচরণ বর্ণনা করার জন্য একটি চলকের সেট ব্যবহার করে সহজ ও জটিল উভয় প্রকারের ব্যবস্থার বিশ্লেষণ করে।

স্টেট স্পেস সমীকরণ

লিনিয়ার ও সময়-অপরিবর্তিত ব্যবস্থার জন্য স্টেট স্পেস সমীকরণ নির্ণয় করা যাক।

আমরা বিবেচনা করি বহু ইনপুট ও বহু আউটপুট ব্যবস্থা, যার r টি ইনপুট ও m টি আউটপুট রয়েছে।

যেখানে, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

এবং m = y1, y2 ……….. ym.

এখন আমরা n টি স্টেট ভেরিয়েবল নিয়ে দেওয়া ব্যবস্থাটি বর্ণনা করছি, যেখানে n = x1, x2, ……….. xn.

আমরা ইনপুট ও আউটপুট ভেক্টরগুলিকে নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করি,

ইনপুট ভেক্টরের ট্রান্সপোজ,

যেখানে, T হল ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ।

আউটপুট ভেক্টরের ট্রান্সপোজ,

যেখানে, T হল ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ।

স্টেট ভেক্টরের ট্রান্সপোজ,

যেখানে, T হল ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ।

এই চলকগুলি একটি সেট সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত, যা নিম্নে লেখা হয়েছে এবং এগুলিকে স্টেট স্পেস সমীকরণ বলা হয়।

ট্রান্সফার ফাংশন ব্যবহার করে স্টেট মডেলের প্রতিনিধিত্ব

বিঘटন : এটি দেওয়া ট্রান্সফার ফাংশন থেকে স্টেট মডেল প্রাপ্তির প্রক্রিয়া হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এখন আমরা তিনটি ভিন্ন পদ্ধতিতে ট্রান্সফার ফাংশন বিঘটন করতে পারি:

• সরাসরি বিঘটন,

• ক্যাস্কেড বা সিরিজ বিঘটন,

• প্যারালাল বিঘটন।

উপরের সব বিঘটন পদ্ধতিতে আমরা প্রথমে দেওয়া ট্রান্সফার ফাংশনকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে রূপান্তর করি, যা ডায়নামিক সমীকরণও বলা হয়। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে রূপান্তর করার পর, আমরা উপরের সমীকরণের ইনভার্স লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম নিই, তারপর বিঘটনের ধরন অনুযায়ী মডেল তৈরি করি। আমরা যেকোনো ধরনের ট্রান্সফার ফাংশনকে স্টেট মডেলে প্রতিনিধিত্ব করতে পারি। আমাদের কাছে বিভিন্ন ধরনের মডেল রয়েছে, যেমন ইলেকট্রিক্যাল মডেল, মেকানিক্যাল মডেল ইত্যাদি।

A, B, C এবং D এর পরিপ্রেক্ষিতে ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্সের প্রকাশ। আমরা ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্সকে ইনপুটের লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম থেকে আউটপুটের লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করি।স্টেট সমীকরণগুলি পুনরায় লিখে এবং উভয় স্টেট সমীকরণের (প্রাথমিক শর্ত শূন্য ধরে) লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম নিয়ে আমরা পাই

আমরা সমীকরণটিকে নিম্নলিখিতভাবে লিখতে পারি

যেখানে, I হল একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স

এখন X(s) এর মান Y(s) সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে এবং D = 0 (অর্থাৎ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স) ধরে আমরা পাই

ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স ম্যাট্রিক্সের অনুবন্ধ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, এবং ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক দ্বারা ভাগ করা হয়, এখন প্রকাশটি পুনরায় লিখলে আমরা পাই

|sI-A| কে শূন্য সমান করলে এটি বৈশিষ্ট্য সমীকরণ হিসাবে পরিচিত।

ইগেন মান ও ইগেন ভেক্টরের ধারণা

আমরা উপরে বর্ণিত বৈশিষ্ট্য সমীকরণের মূলগুলিকে ইগেন মান বা ম্যাট্রিক্স A এর ইগেন মান বলা হয়।এখন ইগেন মানের সাথে সম্পর্কিত কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা নিম্নে লেখা হয়েছে-

• যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A এবং তার ট্রান্সপোজ At একই ইগেন মান রাখে।

• যেকোনো ম্যাট্রিক্স A এর ইগেন মানগুলির যোগফল ম্যাট্রিক্স A এর ট্রেসের সমান।

• যেকোনো ম্যাট্রিক্স A এর ইগেন মানগুলির গুণফল ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারকের সমান।

• আমরা যদি ম্যাট্রিক্স A এর সাথে একটি স্কেলার রাশি গুণ করি, তাহলে ইগেন মানগুলিও সেই স্কেলার রাশির একই মান দ্বারা গুণ হয়।

• আমরা যদি দেওয়া ম্যাট্রিক্স A এর ইনভার্স নিই, তাহলে তার ইগেন মানগুলিও ইনভার্স হয়।

• যদি ম্যাট্রিক্সের সব উপাদান বাস্তব হয়, তাহলে তার ইগেন মানগুলি বাস্তব বা জটিল অনুবন্ধ জোড়া হিসাবে থাকে।

এখন একটি ইগেন মানের জন্য একটি ইগেন ভেক্টর রয়েছে, যদি এটি নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করে (ek × I – A)Pk = 0. যেখানে, k = 1, 2, 3, ……..n.

স্টেট ট্রান্সিশন ম্যাট্রিক্স এবং শূন্য স্টেট রিস্পন্স

আমরা স্টেট ট্রান্সিশন ম্যাট্রিক্স এবং শূন্য স্টেট রিস্পন্সের প্রকাশ নির্ণয়ে আগ্রহী। আবার আমরা উপরে প্রাপ্ত স্টেট সমীকরণগুলি নিয়ে এবং তাদের লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম নিয়ে পাই,

এখন উপরের সমীকরণটি পুনরায় লিখলে আমরা পাই

[sI-A] -1 = θ(s) ধরে এবং উপরের সমীকরণের ইনভার্স লাপ্লাস নিয়ে আমরা পাই

θ(t) এর প্রকাশকে স্টেট ট্রান্সিশন ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

L-1.θ(t)BU(s) = শূন্য স্টেট রিস্পন্স।

এখন আমরা স্টেট ট্রান্সিশন ম্যাট্রিক্সের কিছু বৈশিষ্ট্য আলোচনা করি।

• আমরা যদি উপরের সমীকরণে t = 0 প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা 1 পাব। গাণিতিকভাবে আমরা লিখতে পারি θ(0) =1।

• আমরা যদি θ(t) এ t = -t প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা θ(t) এর ইনভার্স পাব। গাণিতিকভাবে আমরা লিখতে পারি θ(-t) = [θ(t)]-1।

• টিপ