Cad é Anailís Spáis Stáit?

Cad é anailís spáis stáit?

Tuairisc ar an anailís spáis stáit

Is modh é an anailís spáis stáit le controlláin chun córais simplí agus córais casta a anailísú trí chur síos a dhéanamh ar a n-imir i gcoitinne ag túsú ar shórt ábhar.

Cothromóidí Spáis Stáit

Beimis ar an bhfeidhmniú cothromóidí spáis stáit don chóras a is líníoch agus gan athrú le himeacht ama.

Maidir leis an gcóras a bhfuil roinnt isteach agus roinnt amach aige atá r isteach agus m amach.

Ach, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Agus m = y1, y2 ……….. ym.

Anois, glacaimid n ábhair stáit chun an córas a léiriú, mar sin n = x1, x2, ……….. xn.

Leis sin, dírímid gnéithe isteach agus amach mar,

Trasna na ngnéithe isteach,

Ach, T is trasnú matraice.

Trasna na ngnéithe amach,

Ach, T is trasnú matraice.

Trasna na ngnéithe stáit,

Ach, T is trasnú matraice.

Tá na gnéithe seo gaolmhara trí chur síos cothromóidí a scríobhtar thíos agus a ainmnítear mar cothromóidí spáis stáit

Léiriú Modail Stáit Trí Fheidhm Thransfuir

Díobhálú : Is é an próiseas é chun an modh stáit a fháil ón feidhm thrafuir. Anois, is féidir linn an feidhm thrafuir a dhiobhálú trí trí bhealach éagsúil:

• Díobhálú go díreach,

• Díobhálú in seicheáil nó sreang,

• Díobhálú párlail.

Sa gach bealach díobhálaithe, dírímid an chéad feidhm thrafuir ar an gcóras chun cothromóidí difríochta (cothromóidí dinimiciúla) agus ansin glacaimid an trasnfhoirm Laplace den chothromóid sin. Ina dhiaidh sin, de réir an tsórt díobhálaithe, is féidir linn an modh a chruthú. Is féidir linn aon chineál feidhm thrafuir a léiriú sa mhadhail stáit. Tá modhanna éagsúla againn cosúil leis an mhadhail eileactrach, meicniúil, srl.

Léiriú Matraice Thrafuir i gcothromóid le A, B, C agus D. Mhínímid an matraic thrafuir mar an trasnfhoirm Laplace den amach chuig an trasnfhoirm Laplace den isteach.In ainneoin do scríobh an cothromóid stáit arís agus glacadh an trasnfhoirm Laplace den chéad cothromóid (ag rá go bhfuil na cothromóidí tosaigh cothrom le neamhníl), tá againn

Is féidir linn an chothromóid a scríobh mar

Ach, I is matraic idirbhathar

Anois, ag ionstrú an luach X(s) san chothromóid Y(s) agus ag cur D = 0 (mar sin is matraic neamhshoithiúil é), tá againn

Is féidir an trasnú matraice a ionstrú trí an adj matraice a roinnt leis an dtoradh matraice, anois ag athscríobh an teideal, tá againn de

|sI-A| is aitheanta freisin mar chothromóid carachtarach nuair a chomhordann sé le neamhníl.

Ciontacht Luachanna Eigen agus Vectors Eigen

Is iad foitheachtaí an chothromóid carachtarach a scríobhamar thuas ná luachanna Eigen nó luachanna Eigen matraice A.Anois, tá cuid charachtartha luaite thíos ag luachanna Eigen agus is iad na ciontachtaí seo:

• Gan dabht, aon matraic cearnach A agus a trasnú At a bhfuil na luachanna Eigen céanna.

• Is é suim na luachanna Eigen aon matraice A an líne matraice A.

• Is é toradh na luachanna Eigen aon matraice A an toradh matraice A.

• Má fheicimid slánuimhir a lán a mholtar matraice A, ansin moltar luachanna Eigen freisin leis an luach slánuimhir céanna.

• Má tharraingimid an matraic A, ansin tarraingtear luachanna Eigen freisin.

• Má tá gach eilimint den matraic réadach, ansin is réadacha nó copleasc comhdhíolaí é luachanna Eigen a bhaineann leis an matraic.

Anois, tá vector Eigen amháin bunaithe ar luach Eigen, má sheasann sé an chéad cothromóid (ek × I – A)Pk = 0. Ach, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matraic Athrú Stáit agus Freagra Stáit Neamhníl

Tá suim againn sa tuairisc seo chun formlaí a aimsiú don matraic athrú stáit agus freagra stáit neamhníl. Arís, ag glacadh na cothromóide stáit a scríobhamar os cionn agus glacadh a trasnfhoirm Laplace, tá againn,

Anois, ag athscríobh an chothromóid sin, tá againn

Glac [sI-A] -1 = θ(s) agus ag glacadh an trasnfhoirm Laplace trasnú den chothromóid sin, tá againn

Is é an teideal θ(t) a ainmnítear mar matraic athrú stáit.

L-1.θ(t)BU(s) = freagra stáit neamhníl.

Anois, dírímid ar roinnt ciontachtaí matraice athrú stáit.

• Má ionstruimis t = 0 sa chothromóid sin, ansin faighimis 1. Mathemaiticiúil, is féidir linn a scríobh θ(0) =1.

• Má ionstruimis t = -t i θ(t), ansin faighimis trasnú θ(t). Mathemaiticiúil, is féidir linn a scríobh θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Tá ciontacht eile againn [θ(t)]n = θ(nt).