Kas ir statusa telpas analīze?
Kas ir statusa telpas analīze?
Statusa telpas analīzes definīcija
Statusa telpas analīze kontroles sistēmām ir metode, kas izmanto datus mainīgos, lai aprakstītu gan vienkāršu, gan sarežģīto sistēmu uzvedību laikā.
Statusa telpas vienādojumi
Izveidosim statusa telpas vienādojumus lineārai un laika nemainīgai sistēmai.
Apsveram vairāku ievadu un vairāku izvadu sistēmu, kura ir ar r ievadiem un m izvādiem.
Kur, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Un m = y1, y2 ……….. ym.
Tagad mēs izmantojam n statusa mainīgos, lai aprakstītu doto sistēmu, tātad n = x1, x2, ……….. xn.
Mēs definējam ievades un izvades vektorus kā,
Ievades vektoru transponētais,
Kur, T ir matricas transponētais.
Izvades vektoru transponētais,
Kur, T ir matricas transponētais.
Statusa vektoru transponētais,
Kur, T ir matricas transponētais.
Šie mainīgie ir saistīti ar vienādojumu kopumu, kas ir rakstīts zemāk un pazīstami kā statusa telpas vienādojumi.
Pārnesuma funkcijas izmantošana statusa modeļa attēlošanai
Sadale : Tas ir definēts kā procesa, kurā iegūst statusa modeli no dotās pārnesuma funkcijas. Tagad mēs varam sadalīt pārnesuma funkciju trīs dažādos veidos:
Tieša sadale,
Kaskāde vai virkne sadale,
Paralēla sadale.
Visos minētajos sadalīšanas paņēmienos mēs vispirms pārvēršam dotās pārnesuma funkcijas par diferenciālvienādojumiem, kas tiek arī saukti par dinamiskiem vienādojumiem. Pēc to pārvēršanas diferenciālvienādojumos mēs ņemam Laplasa inverso transformāciju no šiem vienādojumiem, un atbilstoši sadalīšanas veidam mēs varēsim izveidot modeli. Mēs varam attēlot jebkuru veida pārnesuma funkciju statusa modelī. Mums ir dažādi modeļi, piemēram, elektriskais modelis, mehāniskais modelis utt.
Pārnesuma matricas izteiksme A, B, C un D terminos. Mēs definējam pārnesuma matricu kā Laplasa transformāciju no izvades līdz ievades Laplasa transformācijai.Uzrakstot vēlreiz statusa vienādojumus un ņemot abu statusa vienādojumu Laplasa transformāciju (pieņemot, ka sākotnējās nosacījumi ir vienādi ar nulli), mēs iegūstam
Mēs varam uzrakstīt vienādojumu kā
Kur, I ir vienības matrica
Tagad aizstājot X(s) vienādojumā Y(s) un iestatot D = 0 (tas nozīmē, ka tas ir nulles matrica), mēs iegūstam
Matricas inverso var aizstāt ar matricas adjunktu, dalot ar matricas determinanta, tagad pārrakstot izteiksmi, mēs iegūstam
|sI-A| ir arī pazīstama kā karakteristiska vienādojuma, kad tā vienādotā ar nulli.
Eigen vērtību un eigen vektoru koncepts
Karakteristiskā vienādojuma saknes, ko mēs esam aprakstījuši augšā, ir pazīstamas kā eigen vērtības vai matricas A eigen vērtības.Tagad ir dažas īpašības, kas saistītas ar eigen vērtībām, un šīs īpašības ir rakstītas zemāk -
Jebkura kvadrātmatrica A un tās transponētā At ir tās pašas eigen vērtības.
Jebkuras matricas A eigen vērtību summa ir vienāda ar matricas A trasē.
Jebkuras matricas A eigen vērtību reizinājums ir vienāds ar matricas A determinanta.
Ja mēs reizinām matricu A ar skalāro lielumu, tad eigen vērtības tiek arī reizinātas ar to pašu skalāro vērtību.
Ja mēs apgriežam dotās matricas A, tad tās eigen vērtības tiek arī apgrieztas.
Ja visas matricas elementi ir reāli, tad tam atbilstošās eigen vērtības ir vai nu reālas, vai eksistē kompleksā konjugētā pāri.
Tagad katrai eigen vērtībai atbilst viens eigen vektors, ja tas apmierina šādu nosacījumu (ek × I – A)Pk = 0. Kur, k = 1, 2, 3, ……..n.
Statusa pārejas matrica un nulle stāvokļa atbilde
Mēs šeit interesējamies par statusa pārejas matricas un nulle stāvokļa atbildes izteiksmju izvedšanu. Vēlreiz ņemot statusa vienādojumus, ko mēs esam izveduši augšā, un ņemot tos Laplasa transformāciju, mēs iegūstam,
Tagad pārrakstot šo vienādojumu, mēs iegūstam
Lai [sI-A] -1 = θ(s) un ņemot Laplasa inverso no šī vienādojuma, mēs iegūstam
Izteiksme θ(t) ir pazīstama kā statusa pārejas matrica.
L-1.θ(t)BU(s) = nulle stāvokļa atbilde.
Tagad apspriedīsim dažas statusa pārejas matricas īpašības.
Ja mēs aizstājam t = 0 šajā vienādojumā, mēs iegūsim 1. Matemātiski mēs varam rakstīt θ(0) =1.
Ja mēs aizstājam t = -t θ(t) vienādojumā, mēs iegūsim θ(t) inverso. Matemātiski mēs varam rakstīt θ(-t) = [θ(t)]-1.
Mēs arī varam citu svarīgu īpašību [θ(t)]n = θ(nt).
