Kaj je analiza stanja?

Kaj je analiza stanja?

Definicija analize stanja

Analiza stanja sistemov nadzora je metoda za analizo tako preprostih kot kompleksnih sistemov z uporabo nabora spremenljivk, ki opisujejo njihovo obnašanje skozi čas.

Enačbe stanja

Predpostavimo, da izpeljemo enačbe stanja za sistem, ki je linearen in neodvisen od časa.

Razmislimo o sistemu z več vhodi in več izhodi, ki ima r vhodov in m izhodov.

Kjer je r = u1, u2, u3 ……….. ur.

In m = y1, y2 ……….. ym.

Zdaj uporabljamo n spremenljivk stanja za opis danega sistema, zato je n = x1, x2, ……….. xn.

Tudi vektorje vhodov in izhodov definiramo kot,

Transponirani vektorji vhodov,

Kjer je T transponirana matrika.

Transponirani vektorji izhodov,

Kjer je T transponirana matrika.

Transponirani vektorji stanja,

Kjer je T transponirana matrika.

Te spremenljivke so povezane s naborom enačb, ki so napisane spodaj in so znane kot enačbe stanja.

Predstavitev modela stanja z prenosno funkcijo

Razgradnja : To je definirano kot postopek pridobivanja modela stanja iz dane prenosne funkcije. Sedaj lahko razgradimo prenosno funkcijo na tri različne načine:

• Neposredna razgradnja,

• Lančna ali zaporedna razgradnja,

• Paralelna razgradnja.

V vseh zgornjih metodah razgradnje najprej pretvorimo dano prenosno funkcijo v diferencialne enačbe, ki se tudi imenujejo dinamične enačbe. Po pretvorbi v diferencialne enačbe vzamemo inverzni Laplaceov transformator zgornje enačbe, nato pa ustvarimo model glede na vrsto razgradnje. Katerokoli vrsto prenosne funkcije lahko predstavimo v modelu stanja. Imamo različne vrste modelov, kot so električni modeli, mehanični modeli itd.

Izraz prenosne matrike v smislu A, B, C in D. Definiramo prenosno matriko kot Laplaceov transformator izhoda k Laplaceovemu transformatorju vhoda.Na novo zapišimo enačbe stanja in vzamemo Laplaceov transformator obeh enačb stanja (pod predpostavko, da so začetne pogoje enaki nič) imamo

Enačbo lahko zapišemo kot

Kjer je I enotska matrika

Sedaj zamenjamo vrednost X(s) v enačbi Y(s) in postavimo D = 0 (to pomeni, da je to prazna matrika) imamo

Inverz matrike lahko zamenjamo z adjungirano matriko deljeno z determinanto matrike, zdaj pa na novo zapišemo izraz

|sI-A| je tudi znano kot karakteristična enačba, ko jo enačimo z nič.

Koncept lastnih vrednosti in lastnih vektorjev

Koreni karakteristične enačbe, ki smo jih opisali zgoraj, so znani kot lastne vrednosti ali lastne vrednosti matrike A.Sedaj obstajajo nekatere lastnosti, povezane s lastnimi vrednostmi, in te lastnosti so napisane spodaj-

• Poljubna kvadratna matrika A in njen transponiran A^t imata iste lastne vrednosti.

• Vsota lastnih vrednosti poljubne matrike A je enaka sledi matrike A.

• Produkt lastnih vrednosti poljubne matrike A je enak determinanti matrike A.

• Če pomnožimo skalarno količino s matriko A, potem so tudi lastne vrednosti pomnožene z isto vrednostjo skalara.

• Če obrnemo dano matriko A, potem so tudi njene lastne vrednosti obrnjene.

• Če so vsi elementi matrike realni, potem so lastne vrednosti, ki jim pripadajo, bodisi realne bodisi obstajajo v kompleksno konjugiranih parih.

Obstaja en lastni vektor, ki pripada eni lastni vrednosti, če izpolnjuje naslednjo pogoj (ek × I – A)Pk = 0. Kjer je k = 1, 2, 3, ……..n.

Matrika prehoda stanja in odziv pri ničelnem stanju

Zanimajo nas izrazi za matriko prehoda stanja in odziv pri ničelnem stanju. Ponovno vzamemo enačbe stanja, ki smo jih izpeljali zgoraj, in vzamemo njihov Laplaceov transformator, imamo

Sedaj na novo zapišemo zgornjo enačbo

Nastavimo [sI-A] -1 = θ(s) in vzamemo inverzni Laplaceov transformator zgornje enačbe, imamo

Izraz θ(t) je znan kot matrika prehoda stanja.

L-1.θ(t)BU(s) = odziv pri ničelnem stanju.

Sedaj razpravljajmo o nekaterih lastnostih matrike prehoda stanja.

• Če v zgornjo enačbo vstavimo t = 0, dobimo 1. Matematično lahko zapišemo θ(0) =1.

• Če v θ(t) vstavimo t = -t, dobimo inverz θ(t). Matematično lahko zapišemo θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Imamo še eno pomembno lastnost [θ(t)]n = θ(nt).