อะไรคือการวิเคราะห์ปริภูมิสถานะ

อะไรคือการวิเคราะห์ปริภูมิสถานะ?

นิยามของการวิเคราะห์ปริภูมิสถานะ

การวิเคราะห์ปริภูมิสถานะของระบบควบคุมเป็นวิธีในการวิเคราะห์ทั้งระบบที่ง่ายและซับซ้อนโดยใช้ชุดตัวแปรเพื่ออธิบายพฤติกรรมของระบบตลอดเวลา

สมการปริภูมิสถานะ

ขอให้เราสร้างสมการปริภูมิสถานะสำหรับระบบที่เชิงเส้นและไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

ขอให้เราพิจารณาระบบหลายอินพุตและหลายเอาต์พุตที่มี r อินพุตและ m เอาต์พุต

เมื่อ r = u1, u2, u3 ……….. ur.

และ m = y1, y2 ……….. ym.

ตอนนี้เรากำลังใช้ตัวแปรสถานะ n ตัวเพื่ออธิบายระบบดังกล่าว ดังนั้น n = x1, x2, ……….. xn.

นอกจากนี้เรายังกำหนดเวกเตอร์อินพุตและเอาต์พุตดังนี้

ทรานสโพสของเวกเตอร์อินพุต,

เมื่อ T คือทรานสโพสของเมทริกซ์

ทรานสโพสของเวกเตอร์เอาต์พุต,

เมื่อ T คือทรานสโพสของเมทริกซ์

ทรานสโพสของเวกเตอร์สถานะ,

เมื่อ T คือทรานสโพสของเมทริกซ์

ตัวแปรเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันผ่านชุดสมการที่เขียนไว้ด้านล่างและรู้จักกันในชื่อสมการปริภูมิสถานะ

การแทนโมเดลสถานะโดยใช้ฟังก์ชันถ่ายโอน

การแยกส่วน : มีการกำหนดให้เป็นกระบวนการในการได้รับโมเดลสถานะจากฟังก์ชันถ่ายโอนที่กำหนด ตอนนี้เราสามารถแยกส่วนฟังก์ชันถ่ายโอนโดยใช้วิธีสามวิธีต่อไปนี้:

• การแยกส่วนตรง,

• การแยกส่วนแบบเรียงลำดับ,

• การแยกส่วนแบบขนาน.

ในวิธีการแยกส่วนทั้งหมดข้างต้น เราจะแปลงฟังก์ชันถ่ายโอนที่กำหนดให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ก่อน ซึ่งเรียกว่าสมการพลวัต หลังจากแปลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ เราจะทำการแปลงลาปลาซกลับของสมการดังกล่าว จากนั้นตามประเภทของการแยกส่วนเราจะสร้างโมเดล เราสามารถแทนฟังก์ชันถ่ายโอนใด ๆ ในโมเดลสถานะได้ เรามีโมเดลต่าง ๆ เช่น โมเดลไฟฟ้า โมเดลมีคาน เป็นต้น

การแสดงเมทริกซ์ถ่ายโอนในเทอมของ A, B, C และ D. เรากำหนดเมทริกซ์ถ่ายโอนว่าเป็นการแปลงลาปลาซของเอาต์พุตต่อการแปลงลาปลาซของอินพุตเมื่อเขียนสมการสถานะใหม่และทำการแปลงลาปลาซของทั้งสองสมการ (โดยสมมติว่าเงื่อนไขเริ่มต้นเท่ากับศูนย์) เราจะได้

เราสามารถเขียนสมการได้ว่า

เมื่อ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

ตอนนี้แทนค่า X(s) ในสมการ Y(s) และกำหนด D = 0 (หมายความว่าเป็นเมทริกซ์ศูนย์) เราจะได้

เมทริกซ์ผกผันสามารถแทนได้ด้วย adj ของเมทริกซ์หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ตอนนี้เมื่อเขียนคำบรรยายใหม่เราจะได้

|sI-A| ยังเป็นที่รู้จักในชื่อสมการลักษณะเฉพาะเมื่อเท่ากับศูนย์

แนวคิดของค่าเจเนอร์และเวกเตอร์เจเนอร์

รากของสมการลักษณะเฉพาะที่เราได้อธิบายไว้ข้างต้นเรียกว่าค่าเจเนอร์หรือค่าเจเนอร์ของเมทริกซ์ Aตอนนี้มีคุณสมบัติบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับค่าเจเนอร์และคุณสมบัติเหล่านี้เขียนไว้ด้านล่าง-

• เมทริกซ์สี่เหลี่ยม A และทรานสโพส At มีค่าเจเนอร์เดียวกัน

• ผลรวมของค่าเจเนอร์ของเมทริกซ์ A ใด ๆ เท่ากับ trace ของเมทริกซ์ A

• ผลคูณของค่าเจเนอร์ของเมทริกซ์ A ใด ๆ เท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A

• หากเราคูณค่าสเกลาร์กับเมทริกซ์ A แล้วค่าเจเนอร์จะถูกคูณด้วยค่าสเกลาร์เดียวกัน

• หากเราหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A แล้วค่าเจเนอร์จะถูกผกผันเช่นกัน

• หากสมาชิกทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นจริง ค่าเจเนอร์ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์นั้นจะเป็นจริงหรือมีคู่คอนจูเกตเชิงซ้อน

ตอนนี้มีเวกเตอร์เจเนอร์หนึ่งตัวที่สอดคล้องกับค่าเจเนอร์หนึ่งตัว หากมันตอบสนองเงื่อนไข (ek × I – A)Pk = 0. เมื่อ k = 1, 2, 3, ……..n.

เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะและการตอบสนองสถานะศูนย์

เราสนใจในการสร้างสูตรสำหรับเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะและการตอบสนองสถานะศูนย์ ตอนนี้นำสมการสถานะที่เราได้สร้างขึ้นมาและทำการแปลงลาปลาซ เราจะได้

ตอนนี้เขียนสมการใหม่ เราจะได้

กำหนด [sI-A] -1 = θ(s) และทำการแปลงลาปลาซกลับของสมการดังกล่าว เราจะได้

การแสดง θ(t) รู้จักกันในชื่อเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ

L-1.θ(t)BU(s) = การตอบสนองสถานะศูนย์

ตอนนี้ขอให้เราพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ

• หากเราแทน t = 0 ในสมการดังกล่าว เราจะได้ 1. ทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนว่า θ(0) =1.

• หากเราแทน t = -t ใน θ(t) เราจะได้เมทริกซ์ผกผันของ θ(t). ทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนว่า θ(-t) = [θ(t)]-1.

• เรายังมีคุณสมบัติสำคัญอีกอย่างหนึ่ง [θ(t)]n = θ(nt).