Was ist Zustandsraumanalyse?

Was ist Zustandsraumanalyse?

Definition der Zustandsraumanalyse

Die Zustandsraumanalyse von Regelungssystemen ist eine Methode, um sowohl einfache als auch komplexe Systeme mithilfe eines Satzes von Variablen zu analysieren, die ihr Verhalten über die Zeit beschreiben.

Zustandsraumgleichungen

Lassen Sie uns die Zustandsraumgleichungen für ein lineares und zeitinvariantes System herleiten.

Betrachten wir ein System mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen, das r Eingänge und m Ausgänge hat.

Dabei sind r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Und m = y1, y2 ……….. ym.

Nun nehmen wir n Zustandsvariablen, um das gegebene System zu beschreiben, daher n = x1, x2, ……….. xn.

Wir definieren auch die Eingangs- und Ausgangsvektoren wie folgt:

Transponierter Eingangsvektor,

Dabei ist T die Transposition der Matrix.

Transponierter Ausgangsvektor,

Dabei ist T die Transposition der Matrix.

Transponierter Zustandsvektor,

Dabei ist T die Transposition der Matrix.

Diese Variablen sind durch einen Satz von Gleichungen verbunden, die unten geschrieben und als Zustandsraumgleichungen bekannt sind.

Darstellung des Zustandsmodells mit der Übertragungsfunktion

Zerlegung : Es wird als Prozess definiert, den Zustandsmodell aus der gegebenen Übertragungsfunktion zu erhalten. Nun können wir die Übertragungsfunktion auf drei verschiedene Arten zerlegen:

• Direkte Zerlegung,

• Kaskaden- oder Reihenzerlegung,

• Parallele Zerlegung.

Bei all diesen Zerlegungsverfahren konvertieren wir zunächst die gegebene Übertragungsfunktion in Differentialgleichungen, die auch dynamische Gleichungen genannt werden. Nach der Umwandlung in Differentialgleichungen nehmen wir die inverse Laplace-Transformation der obigen Gleichung und erstellen dann je nach Art der Zerlegung das Modell. Wir können jede Art von Übertragungsfunktion im Zustandsmodell darstellen. Es gibt verschiedene Arten von Modellen, wie elektrische Modelle, mechanische Modelle usw.

Ausdruck der Übertragungsmatrix in Bezug auf A, B, C und D. Wir definieren die Übertragungsmatrix als die Laplace-Transformation des Ausgangs zur Laplace-Transformation des Eingangs.Wenn wir die Zustandsgleichungen erneut schreiben und die Laplace-Transformation beider Zustandsgleichungen (unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen gleich Null sind) haben, erhalten wir

Wir können die Gleichung schreiben als

Dabei ist I eine Einheitsmatrix.

Nun ersetzen wir den Wert von X(s) in der Gleichung Y(s) und setzen D = 0 (was bedeutet, dass es eine Nullmatrix ist), erhalten wir

Das Inverse der Matrix kann durch die Adjungierte der Matrix geteilt durch die Determinante der Matrix ersetzt werden. Nun schreiben wir den Ausdruck neu, erhalten wir

|sI-A| wird auch als charakteristische Gleichung bezeichnet, wenn sie gleich Null gesetzt wird.

Konzept der Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, die wir oben beschrieben haben, werden als Eigenwerte oder Eigenwerte der Matrix A bezeichnet.Es gibt einige Eigenschaften, die mit Eigenwerten in Zusammenhang stehen, und diese Eigenschaften sind unten aufgeführt:

• Jede quadratische Matrix A und ihre Transponierte At haben die gleichen Eigenwerte.

• Die Summe der Eigenwerte einer beliebigen Matrix A ist gleich der Spur der Matrix A.

• Das Produkt der Eigenwerte einer beliebigen Matrix A ist gleich der Determinante der Matrix A.

• Wenn wir eine skalare Größe mit der Matrix A multiplizieren, werden die Eigenwerte ebenfalls mit dem gleichen Skalarwert multipliziert.

• Wenn wir die gegebene Matrix A invertieren, werden ihre Eigenwerte ebenfalls invertiert.

• Wenn alle Elemente der Matrix reell sind, dann sind die entsprechenden Eigenwerte entweder reell oder existieren in komplex konjugierten Paaren.

Es gibt jeweils einen Eigenvektor, der einem Eigenwert entspricht, wenn er die folgende Bedingung erfüllt (ek × I – A)Pk = 0. Dabei ist k = 1, 2, 3, ……..n.

Zustandsübergangsmatrix und Nullzustandsantwort

Wir interessieren uns hier dafür, die Ausdrücke für die Zustandsübergangsmatrix und die Nullzustandsantwort abzuleiten. Wenn wir die Zustandsgleichungen, die wir oben hergeleitet haben, erneut betrachten und deren Laplace-Transformation durchführen, erhalten wir

Nun schreiben wir die obige Gleichung um, erhalten wir

Setzen wir [sI-A] -1 = θ(s) und nehmen die inverse Laplace-Transformation der obigen Gleichung, erhalten wir

Der Ausdruck θ(t) wird als Zustandsübergangsmatrix bezeichnet.

L-1.θ(t)BU(s) = Nullzustandsantwort.

Nun besprechen wir einige Eigenschaften der Zustandsübergangsmatrix.

• Wenn wir t = 0 in der obigen Gleichung einsetzen, erhalten wir 1. Mathematisch können wir schreiben θ(0) = 1.

• Wenn wir t = -t in θ(t) einsetzen, erhalten wir das Inverse von θ(t). Mathematisch können wir schreiben θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Wir haben auch eine weitere wichtige Eigenschaft [θ(t)]n = θ(nt).