Mis on olekuruumi analüüs?

Mis on tila-aeglane analüüs?

Tila-aeglane analüüsi mõiste

Juhtimissüsteemide tila-aeglane analüüs on meetod nii lihtsate kui ka keeruliste süsteemide analüüsimiseks, kasutades muutujate komplekti, et kirjeldada nende käitumist ajas.

Tila-aeglad võrrandid

Loome tila-aeglaseid võtteid lineaarse ja ajainvariantse süsteemi jaoks.

Vaatame mitme sisse- ja väljundiga süsteemi, mis sisaldab r sisse- ja m väljundit.

Kus, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Ja m = y1, y2 ……….. ym.

Nüüd kasutame n tilamuutujat antud süsteemi kirjeldamiseks, seega n = x1, x2, ……….. xn.

Määrame sisse- ja väljundvektorid järgmiselt,

Sisse-vektorite transponeeritud vorm,

Kus, T on maatriksi transponeeritud vorm.

Väljundvektorite transponeeritud vorm,

Kus, T on maatriksi transponeeritud vorm.

Tilavektorite transponeeritud vorm,

Kus, T on maatriksi transponeeritud vorm.

Need muutujad on seotud võrdetest, mis on kirjas allpool ja mida nimetatakse tila-aeglaseks võrrandiks.

Tila-mudeli esitus ülekandefunktsiooniga

Dekompositsioon : See on määratletud kui protsess, millega saada tila-mudel antud ülekandefunktsioonist. Nüüd saame dekomposeerida ülekandefunktsiooni kolmel erineval viisil:

• Otsene dekompositsioon,

• Kasvatas või järjestikune dekompositsioon,

• Rööpne dekompositsioon.

Kõigis eelnimetatud dekompositsioonimeetodites teisendame antud ülekandefunktsiooni esmalt diferentsiaalvõrranditeks, mida nimetatakse ka dünaamilisteks võrranditeks. Pärast diferentsiaalvõrranditeks teisendamist võtame ülaltoodud võrrandi Laplace'i pöördteisenduse, siis vastavalt dekompositsioonityypile loome mudeli. Me saame esitada mistahes tüübi ülekandefunktsiooni tila-mudelina. Meil on erinevatüübilisi mudeleid, nagu elektriline mudel, mehaaniline mudel jne.

Ülekandemaatriksi väljend A, B, C ja D suhtes. Määrame ülekandemaatriksi kui väljundi Laplace'i teisendust sissekande Laplace'i teisenduse suhtes.Kirjutades uuesti tila-võrrandid ja võttes nende Laplace'i teisenduse (eeldades, et algtingimused on null) saame

Saame kirjutada võrrandi järgmiselt

Kus, I on ühikmaatriks

Nüüd asendades X(s) väärtuse võrrandis Y(s) ja panemata D = 0 (tähendab, et see on tühi maatriks) saame

Maatriksi pöördväärtus saab asendada maatriksi adjungiga jagatuna maatriksi determinantiga, nüüd ümberkirjutades avaldise saame

|sI-A| tuntakse ka karakteristikvõrrandina, kui seda võrdetakse nulliga.

Omaväärtuste ja -vektorite mõiste

Karakteristikvõrrandi juured, mida me ülal kirjeldasime, on tuntud kui omaväärtused või maatriksi A omaväärtused.Nüüd on omaväärtustega seotud mõned omadused, mida kirjutatakse allpool-

• Iga ruutmaatriks A ja selle transponeeritud vorm At omavad sama omaväärtusi.

• Iga maatriksi A omaväärtuste summa on võrdne maatriksi A jäljega.

• Iga maatriksi A omaväärtuste korrutis on võrdne maatriksi A determinantiga.

• Kui me korrutame maatriksi A skalaarväärtusega, siis omaväärtused korrutatakse samaga skalaarväärtusega.

• Kui me pöördume maatriksi A, siis selle omaväärtused pöörduvad ka.

• Kui kõik maatriksi elemendid on reaalsed, siis sellele vastavad omaväärtused on kas reaalsed või eksisteerivad komplekssete konjugaatide paarides.

Nüüd eksisteerib üks omavektor, mis vastab ühele omaväärtusele, kui see rahuldab järgmist tingimust (ek × I – A)Pk = 0. Kus, k = 1, 2, 3, ……..n.

Tilaüleminekumaatriks ja nulltila vastus

Me oleme huvitatud tilaüleminekumaatriksi ja nulltila vastuse avaldiste tuletamisest. Uuesti võttes tila-võrrandid, mida me ülal tuletasime, ja võttes nende Laplace'i teisenduse, saame

Nüüd ümberkirjutades ülaltoodud võrrandi saame

Olgu [sI-A] -1 = θ(s) ja võttes ülaltoodud võrrandi Laplace'i pöördteisenduse saame

Avaldis θ(t) on tuntud kui tilaüleminekumaatriks.

L-1.θ(t)BU(s) = nulltila vastus.

Nüüd arutagem mõnda tilaüleminekumaatriksi omadust.

• Kui me asendame t = 0 ülaltoodud võrrandis, saame 1. Matemaatiliselt saame kirjutada θ(0) =1.

• Kui me asendame t = -t θ(t)s, saame θ(t) pöördväärtuse. Matemaatiliselt saame kirjutada θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Meil on veel üks oluline omadus [θ(t)]n = θ(nt).