Quid est Analyse Spatii Status?

Quid est Analyse Spatii Status?

Definitio Analyse Spatii Status

Analyse spatii status systematum controlandi est methodus uti variis variabilibus ad descriptionem comportamentorum eorum temporis per tempus.

Aequationes Spatii Status

Deducamus aequationes spatii status pro systemate quod est lineare et invariabile temporis.

Consideremus systema cum plures input et output quod habet r inputs et m output.

Ubi, r = u1, u2, u3 ……….. ur.

Et m = y1, y2 ……….. ym.

Nunc sumimus n variabiles status ad describendum systema datum, itaque n = x1, x2, ……….. xn.

Definimus etiam vectores input et output ut,

Transpositio vectorum input,

Ubi, T est transpositio matricis.

Transpositio vectorum output,

Ubi, T est transpositio matricis.

Transpositio vectorum status,

Ubi, T est transpositio matricis.

Hae variabiles sunt relatae per set aequationum quae scribuntur infra et cognoscuntur ut aequationes spatii status.

Representatio Modello Status Usu Functionis Transferendi

Decompositio : Definitur ut processus obtinendi modello status ex data functione transferendi. Nunc possumus decompunere functionem transferendi tribus modis diversis:

• Decompositio directa,

• Decompositio catenaria vel serie,

• Decompositio parallela.

In omnibus supradictis methodis decompositionis primum convertimus datam functionem transferendi in aequationes differentiales quae etiam vocantur aequationes dynamicas. Post conversionem in aequationes differentiales sumimus inversam transformationem Laplace supra dicta aequatione, tunc secundum typum decompositionis possumus creare modello. Possumus repraesentare omnis typum functionis transferendi in modello status. Habemus varios typus modelli sicut modello electricum, mechanicum etc.

Expressio Matricis Transferendi in Terminis A, B, C et D. Definimus matricem transferendi ut transformata Laplace output ad transformata Laplace input.Scribendo iterum aequationes status et sumendo transformationem Laplace utriusque aequationis status (praesupponendo conditiones initiales aequales zero) habemus

Possumus scribere aequationem ut

Ubi, I est matrix identitas

Nunc substituendo valorem X(s) in aequatione Y(s) et ponendo D = 0 (id est, est matrix nullus) habemus

Inversa matricis potest substitui per adjunctionem matricis divisam per determinantem matricis, nunc rescribendo expressionem habemus

|sI-A| etiam cognoscitur ut aequatio characteristicum quando aequatur zero.

Conceptus Valoris Eigen et Vectoris Eigen

Radices aequationis characteristicum quae supra descripsimus cognoscuntur ut valores eigen vel valores eigen matris A.Nunc sunt quaedam proprietates relatae ad valores eigen et has proprietates scriptas infra sunt-

• Omnis matrix quadrata A et eius transpositio At habent idem valores eigen.

• Summa valorum eigen cuiuslibet matris A est aequalis tracem matris A.

• Productum valorum eigen cuiuslibet matris A est aequalis determinanti matris A.

• Si multiplicamus quantitatem scalaris ad matricem A tunc etiam valores eigen multiplicantur per eandem quantitatem scalaris.

• Si invertimus datam matricem A tunc etiam eius valores eigen inversantur.

• Si omnes elementi matricis sunt reales tunc valores eigen correspondentes illi matrici sunt aut reales aut existunt in paribus conjugatorum complexorum.

Nunc existit unus vector eigen correspondens uni valori eigen, si satisfacit sequentem conditionem (ek × I – A)Pk = 0. Ubi, k = 1, 2, 3, ……..n.

Matrix Transiti Status et Responsum Stati Zero

Interessamur hic in derivando expressiones pro matrice transiti status et responsu statu zero. Rursus sumendo aequationes status quas supra deduximus et sumendo eorum transformationem Laplace habemus,

Nunc rescribendo supra dictam aequationem habemus

Sit [sI-A] -1 = θ(s) et sumendo inversam transformationem Laplace supra dictae aequationis habemus

Expressio θ(t) cognoscitur ut matrix transiti status.

L-1.θ(t)BU(s) = responsum stati zero.

Nunc disseramus de quibusdam proprietatibus matricis transiti status.

• Si substituimus t = 0 in supra dicta aequatione tunc habemus 1. Mathematica possumus scribere θ(0) =1.

• Si substituimus t = -t in θ(t) tunc habemus inversam θ(t). Mathematica possumus scribere θ(-t) = [θ(t)]-1.

• Habemus etiam aliam importantem proprietatem [θ(t)]n = θ(nt).