Goniometrische Fourrierreeks
We hebben al de Fourier-reeks in exponentiële vorm besproken. In dit artikel zullen we een andere vorm van de Fourier-reeks bespreken, namelijk de trigonometrische Fourier-reeks.
Representatie van de Fourier-reeks in trigonometrische vorm
De Fourier-reeks in trigonometrische vorm kan eenvoudig worden afgeleid uit de exponentiële vorm. De complexe exponentiële Fourier-reeksrepresentatie van een periodiek signaal x(t) met grondperiode To wordt gegeven door
Aangezien sinus en cosinus in exponentiële vorm kunnen worden uitgedrukt, kunnen we door de exponentiële Fourier-reeks te manipuleren, haar trigonometrische vorm verkrijgen.
De trigonometrische Fourier-reeks representatie van een periodiek signaal x (t) met grondperiode T, wordt gegeven door
Waarbij ak en bk de Fourier-coëfficiënten zijn, gegeven door
a0 is het gelijkstroomcomponent van het signaal en wordt gegeven door
Eigenschappen van de Fourier-reeks
1. Als x(t) een even functie is, d.w.z. x(- t) = x(t), dan bk = 0 en
2. Als x(t) een oneven functie is, d.w.z. x(- t) = – x(t), dan a0 = 0, ak = 0 en
3. Als x(t) een half-symmetrische functie is, d.w.z. x (t) = -x(t ± T0/2), dan a0 = 0, ak = bk = 0 voor k even,
4. Lineariteit
5. Tijdsverschuiving
6. Tijdreflectie
7. Vermenigvuldiging
8. Conjugatie
9. Differentiatie
10. Integratie
11. Periodieke convolutie
Relatie tussen de coëfficiënten in exponentiële vorm en de coëfficiënten in trigonometrische vorm
Als x (t) reëel is, dan zijn a, en b, reëel, we hebben
Effect van verschuiving van de as van het signaal
Bij het verschuiven van de golfform naar links of rechts ten opzichte van de referentietijdas t = 0 veranderen alleen de fase-waarden van het spectrum, maar de magnitude-spectrum blijft hetzelfde.
Bij het verschuiven van de golfform omhoog of omlaag ten opzichte van de tijdas verandert alleen de DC-waarde van de functie.
Verklaring: Respecteer het oorspronkelijke, goede artikelen zijn de moede gedeeld, indien er inbreuk is gelieve te contacteren voor verwijdering.
