Trigonometrische Fourier-Reihe
Wir haben bereits die Fourierreihe in exponentieller Form besprochen. In diesem Artikel werden wir eine weitere Form der Fourierreihe diskutieren, nämlich die trigonometrische Fourierreihe.
Darstellung der Fourierreihe in trigonometrischer Form
Die trigonometrische Fourierreihe kann leicht aus ihrer exponentiellen Form abgeleitet werden. Die komplexe exponentielle Fourierreihendarstellung eines periodischen Signals x(t) mit Grundperiode To lautet
Da Sinus und Kosinus in exponentieller Form dargestellt werden können, kann durch Manipulation der exponentiellen Fourierreihe ihre trigonometrische Form erhalten werden.
Die trigonometrische Fourierreihe-Darstellung eines periodischen Signals x(t) mit Grundperiode T lautet
Dabei sind ak und bk die Fourier-Koeffizienten, die gegeben sind durch
a0 ist die Gleichspannungskomponente des Signals und wird gegeben durch
Eigenschaften der Fourierreihe
1. Wenn x(t) eine gerade Funktion ist, d.h. x(- t) = x(t), dann bk = 0 und
2. Wenn x(t) eine ungerade Funktion ist, d.h. x(- t) = – x(t), dann a0 = 0, ak = 0 und
3. Wenn x(t) eine halbsymmetrische Funktion ist, d.h. x (t) = -x(t ± T0/2), dann a0 = 0, ak = bk = 0 für k gerade,
4. Linearität
5. Zeitverschiebung
6. Zeitumkehrung
7. Multiplikation
8. Konjugation
9. Differenziation
10. Integration
11. Periodische Faltung
Beziehung zwischen den Koeffizienten der exponentiellen Form und den Koeffizienten der trigonometrischen Form
Wenn x(t) reell ist, dann sind a und b reell, wir haben
Auswirkungen des Verschiebens der Signalachse
Bei der Verschiebung des Wellenforms nach links oder rechts bezüglich der Referenzzeitachse t = 0 ändern sich nur die Phasenwerte des Spektrums, während das Magnitudenspektrum gleich bleibt.
Bei der Verschiebung des Wellenforms nach oben oder unten bezüglich der Zeitachse ändert sich nur der Gleichspannungsanteil der Funktion.
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