Chuỗi Fourier lượng giác

Chúng ta đã thảo luận về chuỗi Fourier ở dạng hàm mũ. Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về một dạng khác của chuỗi Fourier, đó là chuỗi Fourier lượng giác.

Biểu diễn chuỗi Fourier dưới dạng lượng giác

Chuỗi Fourier dạng lượng giác có thể dễ dàng được dẫn xuất từ dạng hàm mũ. Biểu diễn chuỗi Fourier hàm mũ phức của tín hiệu tuần hoàn x(t) với chu kỳ cơ bản To được cho bởi

Vì sin và cos có thể được biểu diễn dưới dạng hàm mũ. Do đó, bằng cách thao tác với chuỗi Fourier hàm mũ, chúng ta có thể thu được dạng lượng giác của nó.

Biểu diễn chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn x (t) với chu kỳ cơ bản T, được cho bởi

Trong đó ak và bk là các hệ số Fourier được cho bởi

a0 là thành phần DC của tín hiệu và được cho bởi

Tính chất của chuỗi Fourier

1. Nếu x(t) là hàm chẵn nghĩa là x(- t) = x(t), thì bk = 0 và

2. Nếu x(t) là hàm lẻ nghĩa là x(- t) = – x(t), thì a0 = 0, ak = 0 và

3. Nếu x(t) là hàm nửa đối xứng nghĩa là x (t) = -x(t ± T0/2), thì a0 = 0, ak = bk = 0 cho k chẵn,

4. Tuyến tính

5. Dịch chuyển thời gian

6. Đảo ngược thời gian

7. Nhân

8. Phối hợp

9. Đạo hàm

10. Tích phân

11. Tích chập tuần hoàn

Mối quan hệ giữa các hệ số dạng hàm mũ và các hệ số dạng lượng giác

Khi x (t) là thực, thì a và b là thực, chúng ta có

Tác động của việc dịch chuyển trục tín hiệu

• Khi dịch chuyển hình dạng sóng sang trái hoặc phải so với trục thời gian tham chiếu t = 0, chỉ các giá trị pha của phổ thay đổi nhưng phổ biên độ vẫn giữ nguyên.

• Khi dịch chuyển hình dạng sóng lên trên hoặc xuống dưới so với trục thời gian, chỉ giá trị DC của hàm thay đổi.

Tuyên bố: Kính trọng bản gốc, những bài viết tốt đáng để chia sẻ, nếu vi phạm bản quyền vui lòng liên hệ để xóa.