Trigonometrisk Fourier-række

Vi har allerede diskuteret Fourier-serien i eksponentiel form. I denne artikel vil vi diskutere en anden form for Fourier-serie, nemlig trigonometrisk Fourier-serie.

Fourier-seriens repræsentation i trigonometrisk form

Trigonometrisk Fourier-serie kan let afledes fra dens eksponentielle form. Den komplekse eksponentielle Fourier-serierepræsentation af et periodisk signal x(t) med grundlæggende periode To er givet ved

Da sinus og cosinus kan udtrykkes i eksponentiel form, kan vi ved at manipulere den eksponentielle Fourier-serie, opnå dens trigonometriske form.

Den trigonometriske Fourier-serie repræsentation af et periodisk signal x (t) med grundlæggende periode T, er givet ved

Hvor ak og bk er Fourier-koefficienter givet ved

a0 er det dc-komponent i signalet og er givet ved

Egenskaber ved Fourier-serier

1. Hvis x(t) er en lige funktion, dvs. x(- t) = x(t), så bk = 0 og

2. Hvis x(t) er en ulige funktion, dvs. x(- t) = – x(t), så a0 = 0, ak = 0 og

3. Hvis x(t) er en halv symmetrisk funktion, dvs. x (t) = -x(t ± T0/2), så a0 = 0, ak = bk = 0 for k lige,

4. Linearitet

5. Tidsforskydning

6. Tidsspejling

7. Multiplikation

8. Konjugering

9. Differentiation

10. Integration

11. Periodisk konvolution

Forhold mellem koefficienter i eksponentiel form og koefficienter i trigonometrisk form

Når x (t) er reelt, så er a, og b, reelle, vi har

Effekt af skift af signalets akse

• Ved at flytte bølgeformen til venstre eller højre i forhold til referencetiden t = 0 ændres kun faserne i spektret, men magnitudens spektrum forbliver det samme.

• Ved at flytte bølgeformen op eller ned i forhold til tidsaksen ændres kun DC-værdien af funktionen.

Erklæring: Respektér det originale, godt indhold fortjener at deles, hvis der er overtrædelse kontakt for sletning.