Trigonometrická Fourierova řada

Už jsme diskutovali o Fourierově řadě v exponenciálním tvaru. V tomto článku se budeme zabývat dalším tvarem Fourierovy řady, tedy trigonometrickou Fourierovou řadou.

Reprezentace Fourierovy řady v trigonometrickém tvaru

Trigonometrická Fourierova řada lze snadno odvodit z jejího exponenciálního tvaru. Komplexní exponenciální reprezentace Fourierovy řady periodického signálu x(t) s základní periodou To je dána vztahem

Jelikož sinus a kosinus lze vyjádřit v exponenciálním tvaru, můžeme manipulací s exponenciální Fourierovou řadou získat její trigonometrický tvar.

Trigonometrická Fourierova řada reprezentuje periodický signál x (t) s základní periodou T následujícím vztahem

Kde ak a bk jsou Fourierovy koeficienty dané vztahem

a0 je střední hodnota signálu a je dána vztahem

Vlastnosti Fourierovy řady

1. Pokud je x(t) sudá funkce, tj. x(- t) = x(t), pak bk = 0 a

2. Pokud je x(t) lichá funkce, tj. x(- t) = – x(t), pak a0 = 0, ak = 0 a

3. Pokud je x(t) polosymetrická funkce, tj. x (t) = -x(t ± T0/2), pak a0 = 0, ak = bk = 0 pro sudé k,

4. Linearita

5. Posun v čase

6. Obrácení v čase

7. Násobení

8. Konjugace

9. Diferencování

10. Integrace

11. Periodická konvoluce

Vztah mezi koeficienty exponenciálního tvaru a koeficienty trigonometrického tvaru

Pokud je x (t) reálné, pak a, a b, jsou reálné, máme

Účinek posunu osy signálu

• Posunutí vlnového obrazu doprava nebo doleva vzhledem k referenčnímu časovému osu t = 0 změní pouze fázové hodnoty spektra, ale amplitudové spektrum zůstane stejné.

• Posunutí vlnového obrazu nahoru nebo dolů vzhledem k časové ose změní pouze DC hodnotu funkce.

Prohlášení: Respektujte původ, doporučujeme sdílet kvalitní články, pokud je narušena autorská práva, prosím, kontaktujte pro smazání.