Serie trigonometrica di Fourier

Abbiamo già discusso la serie di Fourier in forma esponenziale. In questo articolo discuteremo un'altra forma della serie di Fourier, ovvero la serie di Fourier trigonometrica.

Rappresentazione della serie di Fourier in forma trigonometrica

La serie di Fourier in forma trigonometrica può essere facilmente derivata dalla sua forma esponenziale. La rappresentazione della serie di Fourier esponenziale complessa di un segnale periodico x(t) con periodo fondamentale To è data da

Poiché il seno e il coseno possono essere espressi in forma esponenziale, manipolando la serie di Fourier esponenziale, possiamo ottenere la sua forma trigonometrica.

La serie di Fourier trigonometrica di un segnale periodico x(t) con periodo fondamentale T, è data da

Dove ak e bk sono i coefficienti di Fourier dati da

a0 è la componente continua del segnale e viene data da

Proprietà della serie di Fourier

1. Se x(t) è una funzione pari, cioè x(- t) = x(t), allora bk = 0 e

2. Se x(t) è una funzione dispari, cioè x(- t) = – x(t), allora a0 = 0, ak = 0 e

3. Se x(t) è una funzione simmetrica a metà, cioè x (t) = -x(t ± T0/2), allora a0 = 0, ak = bk = 0 per k pari,

4. Linearità

5. Spostamento temporale

6. Inversione temporale

7. Moltiplicazione

8. Coniugazione

9. Differenziazione

10. Integrazione

11. Convoluzione periodica

Relazione tra i coefficienti della forma esponenziale e i coefficienti della forma trigonometrica

Quando x(t) è reale, allora a e b sono reali, abbiamo

Efetto dello spostamento dell'asse del segnale

• Spostando l'onda a sinistra o a destra rispetto all'asse temporale di riferimento t = 0, solo i valori di fase dello spettro cambiano, ma lo spettro di ampiezza rimane invariato.

• Spostando l'onda verso l'alto o verso il basso rispetto all'asse temporale, si modifica solo il valore DC della funzione.

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