삼각함수 푸리에 급수

우리는 이미 지수 형태의 푸리에 급수에 대해 논의하였습니다. 이 기사에서는 다른 형태의 푸리에 급수, 즉 삼각 푸리에 급수에 대해 논의하겠습니다.

삼각 함수 형태의 푸리에 급수 표현

삼각 함수 형태의 푸리에 급수는 그 지수 형태에서 쉽게 유도할 수 있습니다. 기본 주기 To를 가진 주기 신호 x(t)의 복소 지수 푸리에 급수 표현은 다음과 같습니다

사인과 코사인을 지수 형태로 표현할 수 있으므로, 지수 푸리에 급수를 조작하여 삼각 함수 형태로 변환할 수 있습니다.

기본 주기 T를 가진 주기 신호 x(t)의 삼각 푸리에 급수 표현은 다음과 같습니다

여기서 ak와 bk는 다음과 같이 주어지는 푸리에 계수입니다

a0는 신호의 DC 성분이며 다음과 같이 주어집니다

푸리에 급수의 특성

1. 만약 x(t)가 짝함수 즉, x(- t) = x(t)이면, bk = 0이고,

2. 만약 x(t)가 홀함수 즉, x(- t) = – x(t)이면, a0 = 0, ak = 0이고,

3. 만약 x(t)가 반대칭 함수 즉, x (t) = -x(t ± T0/2)이면, a0 = 0, ak = bk = 0 (k가 짝수일 때),

4. 선형성

5. 시간 이동

6. 시간 역전

7. 곱셈

8. 공액

9. 미분

10. 적분

11. 주기적 합성곱

지수 형태의 계수와 삼각 함수 형태의 계수 간의 관계

x(t)가 실수일 때, a와 b는 실수이며, 다음을 얻습니다

신호 축 이동의 효과

• 참조 시간 축 t = 0에 대해 왼쪽 또는 오른쪽으로 파형을 이동하면 스펙트럼의 위상 값만 변경되지만 크기 스펙트럼은 동일하게 유지됩니다.

• 시간 축에 대해 위 또는 아래로 파형을 이동하면 함수의 DC 값만 변경됩니다.

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