Série Trigonométrica de Fourier

Já discutimos a série de Fourier na forma exponencial. Neste artigo, discutiremos outra forma da série de Fourier, ou seja, a série trigonométrica de Fourier.

Representação da série de Fourier na forma trigonométrica

A série de Fourier na forma trigonométrica pode ser facilmente derivada de sua forma exponencial. A representação da série de Fourier exponencial complexa de um sinal periódico x(t) com período fundamental To é dada por

Como o seno e o cosseno podem ser expressos na forma exponencial, manipulando a série de Fourier exponencial, podemos obter sua forma trigonométrica.

A série trigonométrica de Fourier de um sinal periódico x(t) com período fundamental T é dada por

Onde ak e bk são os coeficientes de Fourier dados por

a0 é o componente DC do sinal e é dado por

Propriedades da série de Fourier

1. Se x(t) é uma função par, ou seja, x(-t) = x(t), então bk = 0 e

2. Se x(t) é uma função ímpar, ou seja, x(-t) = – x(t), então a0 = 0, ak = 0 e

3. Se x(t) é uma função simétrica pela metade, ou seja, x (t) = -x(t ± T0/2), então a0 = 0, ak = bk = 0 para k par,

4. Linearidade

5. Deslocamento temporal

6. Reversão temporal

7. Multiplicação

8. Conjugação

9. Diferenciação

10. Integração

11. Convolução periódica

Relação entre os coeficientes da forma exponencial e os coeficientes da forma trigonométrica

Quando x(t) é real, então a e b são reais, temos

Efeito do deslocamento do eixo do sinal

• Ao deslocar a onda para a esquerda ou para a direita em relação ao eixo de tempo de referência t = 0, apenas os valores de fase do espectro mudam, mas o espectro de magnitude permanece o mesmo.

• Ao deslocar a onda para cima ou para baixo em relação ao eixo de tempo, apenas o valor DC da função muda.

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