Τριγωνομετρική σειρά Φουριέ

Έχουμε ήδη συζητήσει τη Σειρά Fourier σε εκθετική μορφή. Σε αυτό το άρθρο θα συζητήσουμε μια άλλη μορφή της Σειράς Fourier, δηλαδή τη Τριγωνομετρική Σειρά Fourier.

Αναπαράσταση της Σειράς Fourier σε Τριγωνομετρική Μορφή

Η Τριγωνομετρική Σειρά Fourier μπορεί να προέλθει εύκολα από την εκθετική μορφή. Η περιγραφή μιας περιοδικής συνάρτησης x(t) με βασική περίοδο To με την εκθετική μορφή της Σειράς Fourier δίνεται από

Επειδή οι συνημιτόνο και ημιτόνο μπορούν να εκφραστούν σε εκθετική μορφή, με την αλλαγή της εκθετικής Σειράς Fourier, μπορούμε να πάρουμε τη Τριγωνομετρική μορφή.

Η Τριγωνομετρική Σειρά Fourier για μια περιοδική συνάρτηση x (t) με βασική περίοδο T, δίνεται από

όπου ak και bk είναι τα συντελεστές Fourier διδόμενοι από

a0 είναι το dc συνιστώσα του σήματος και δίνεται από

Ιδιότητες της Σειράς Fourier

1. Αν x(t) είναι μια άρτια συνάρτηση, δηλαδή x(- t) = x(t), τότε bk = 0 και

2. Αν x(t) είναι μια περιττή συνάρτηση, δηλαδή x(- t) = – x(t), τότε a0 = 0, ak = 0 και

3. Αν x(t) είναι μια μισημετρική συνάρτηση, δηλαδή x (t) = -x(t ± T0/2), τότε a0 = 0, ak = bk = 0 για k άρτιο,

4. Γραμμικότητα

5. Μετατόπιση στο χρόνο

6. Αναστροφή στο χρόνο

7. Πολλαπλασιασμός

8. Συζυγή

9. Διαφορία

10. Ολοκλήρωση

11. Περιοδική Συνέλιξη

Σχέση μεταξύ των συντελεστών της εκθετικής μορφής και των συντελεστών της τριγωνομετρικής μορφής

Όταν x (t) είναι πραγματική, τότε a, και b, είναι πραγματικά, έχουμε

Επίδραση της Μετατόπισης του Άξονα του Σήματος

• Με τη μετατόπιση της κύματος προς τα αριστερά ή δεξιά σε σχέση με τον αναφερόμενο χρονικό άξονα t = 0, μόνο τα φάσεις του φάσματος αλλάζουν, αλλά το μέγεθος του φάσματος παραμένει το ίδιο.

• Με τη μετατόπιση της κύματος προς τα πάνω ή κάτω σε σχέση με τον χρονικό άξονα, αλλάζει μόνο το dc τιμή της συνάρτησης.

Δήλωση: Σεβαστές το αρχικό, καλές αναρτήσεις αξίζει να μοιραστούν, αν υπάρχει παραβίαση δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας παρακαλώ επικοινωνήστε για διαγραφή.