Trigonometrinen Fourier-sarja

Olemme jo käsitelleet Fourier-sarjaa eksponenttisessa muodossa. Tässä artikkelissa käsittelemme toista Fourier-sarjan muotoa eli trigonometrista Fourier-sarjaa.

Fourier-sarjan esitys trigonometrisessa muodossa

Trigonometrinen Fourier-sarja voidaan helposti johdattaa sen eksponenttisesta muodosta. Jaksollisen signaalin x(t) kompleksinen eksponentiaalinen Fourier-sarjaesitys perusjakson To kuvaa

Koska sini ja kosini voidaan ilmaista eksponenttimuodossa, voimme manipuloimalla eksponentiaalista Fourier-sarjaa saada sen trigonometrisen muodon.

Jaksollisen signaalin x (t) trigonometrinen Fourier-sarjaesitys perusjakson T, on annettu kaavalla

Missä ak ja bk ovat Fourier-kertoimet, jotka ovat annettu kaavalla

a0 on signaalin dc-komponentti ja se on annettu kaavalla

Fourier-sarjan ominaisuudet

1. Jos x(t) on parillinen funktio eli x(- t) = x(t), niin bk = 0 ja

2. Jos x(t) on pariton funktio eli x(- t) = – x(t), niin a0 = 0, ak = 0 ja

3. Jos x(t) on puolisuunnikas funktio eli x (t) = -x(t ± T0/2), niin a0 = 0, ak = bk = 0 parillisille k:n arvoille,

4. Lineaarisuus

5. Aika siirtymä

6. Aika kääntö

7. Kertolasku

8. Konjugaatio

9. Derivointi

10. Integrointi

11. Jaksoittainen konvoluutio

Eksponenttimuodon ja trigonometrisen muodon kertoimien välinen suhde

Kun x (t) on reaalinen, niin a, ja b, ovat reaalisia, meillä on

Signaalin akselinsijan siirron vaikutus

• Kun aaltomuoto siirretään vasemmalle tai oikealle suhteessa viiteajaksiin t = 0, vain spektrin vaihearvot muuttuvat, mutta amplitudispektri pysyy samana.

• Kun aaltomuoto siirretään ylöspäin tai alaspäin suhteessa aikaksiin, muuttuu vain funktion dc-arvo.

Lause: Kunnioita alkuperäistä, hyviä artikkeleita on jaettava, jos on loukkausta, ole yhteydessä poistamaan.