Trigonometrikus Fourier-sor

Már megvitattuk a Fourier-sor exponenciális formáját. Ebben a cikkben egy másik Fourier-sor formáját, a trigonometrikus Fourier-sort tárgyaljuk.

Trigonometrikus formában való Fourier-sor reprezentáció

A trigonometrikus formában való Fourier-sor könnyen levezethető az exponenciális formából. Az x(t) periódikus jel Fourier-sorának komplex exponenciális formája alapperiódusa To-val adott

Mivel a szinusz és koszinusz exponenciális formában is kifejezhető. Így manipulálva a komplex exponenciális Fourier-sort, elérhetjük a trigonometrikus formáját.

Az x (t) periódikus jel trigonometrikus Fourier-sora alapperiódusa T, a következőképpen adható meg

Ahol ak és bk Fourier-együtthatók a következőképpen adódnak

a0 a jel DC komponense, és a következőképpen adható meg

Fourier-sor tulajdonságai

1. Ha x(t) páros függvény, azaz x(- t) = x(t), akkor bk = 0 és

2. Ha x(t) páratlan függvény, azaz x(- t) = – x(t), akkor a0 = 0, ak = 0 és

3. Ha x(t) fél-szimmetrikus függvény, azaz x (t) = -x(t ± T0/2), akkor a0 = 0, ak = bk = 0 ha k páros,

4. Linearitás

5. Időeltolás

6. Időfordítás

7. Szorzás

8. Konjugált

9. Differenciálás

10. Integrálás

11. Periodikus konvolúció

Exponenciális formájú és trigonometrikus formájú Fourier-együtthatók közötti kapcsolat

Ha x (t) valós, akkor a, és b, valós, akkor

A jel tengelyének eltolása hatása

• A hullámforma eltolása balra vagy jobbra a referencia időtengelyre (t = 0) nézve csak a spektrum fázisértékét változtatja, a spektrum amplitúdója ugyanaz marad.

• A hullámforma eltolása felfelé vagy lefelé az időtengelyre nézve csak a függvény DC értékét módosítja.

Kijelentés: Tiszteletben tartsuk az eredeti, jó cikkeket, amiket megéri megosztani, ha szerzői jogok megsértése történne, lépjünk kapcsolatba a törlésével.