Série de Fourier trigonométrique

Nous avons déjà discuté de la série de Fourier sous forme exponentielle. Dans cet article, nous aborderons une autre forme de série de Fourier, à savoir la série de Fourier trigonométrique.

Représentation de la série de Fourier sous forme trigonométrique

La série de Fourier sous forme trigonométrique peut être facilement dérivée de sa forme exponentielle. La représentation de la série de Fourier exponentielle complexe d'un signal périodique x(t) avec une période fondamentale To est donnée par

Comme le sinus et le cosinus peuvent être exprimés sous forme exponentielle, en manipulant la série de Fourier exponentielle, nous pouvons obtenir sa forme trigonométrique.

La série de Fourier trigonométrique d'un signal périodique x (t) avec une période fondamentale T, est donnée par

Où ak et bk sont les coefficients de Fourier donnés par

a0 est la composante continue du signal et est donnée par

Propriétés de la série de Fourier

1. Si x(t) est une fonction paire, c'est-à-dire x(- t) = x(t), alors bk = 0 et

2. Si x(t) est une fonction impaire, c'est-à-dire x(- t) = – x(t), alors a0 = 0, ak = 0 et

3. Si x(t) est une fonction semi-symétrique, c'est-à-dire x (t) = -x(t ± T0/2), alors a0 = 0, ak = bk = 0 pour k pair,

4. Linéarité

5. Décalage temporel

6. Inversion temporelle

7. Multiplication

8. Conjugaison

9. Différentiation

10. Intégration

11. Convolution périodique

Relation entre les coefficients de la forme exponentielle et les coefficients de la forme trigonométrique

Lorsque x (t) est réel, alors a, et b, sont réels, nous avons

Effet du déplacement de l'axe du signal

• En déplaçant la forme d'onde vers la gauche ou la droite par rapport à l'axe de temps de référence t = 0, seules les valeurs de phase du spectre changent, mais l'amplitude du spectre reste la même.

• En déplaçant la forme d'onde vers le haut ou vers le bas par rapport à l'axe de temps, seule la valeur continue du signal change.

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