Тригонометрични ред на Фурие

Вече обсъдихме реда на Фурие в експоненциална форма. В тази статия ще обсъдим друга форма на реда на Фурие, а именно тригонометричния ред на Фурие.

Представяне на реда на Фурие в тригонометрична форма

Тригонометричният ред на Фурие може лесно да се изведе от неговата експоненциална форма. Комплексното експоненциално представяне на реда на Фурие за периодичен сигнал x(t) с основен период To е дадено от

Тъй като синус и косинус могат да бъдат изразени в експоненциална форма, чрез манипулация на експоненциалния ред на Фурие, можем да получим неговата тригонометрична форма.

Тригонометричното представяне на реда на Фурие за периодичен сигнал x (t) с основен период T, е дадено от

Където ak и bk са кооффициенти на Фурие, дадени от

a0 е постоянната компонента на сигнала и е дадена от

Свойства на реда на Фурие

1. Ако x(t) е четна функция, тоест x(- t) = x(t), то bk = 0 и

2. Ако x(t) е нечетна функция, тоест x(- t) = – x(t), то a0 = 0, ak = 0 и

3. Ако x(t) е полусиметрична функция, тоест x (t) = -x(t ± T0/2), то a0 = 0, ak = bk = 0 за k четно,

4. Линейност

5. Сместяване по време

6. Обратно сместяване по време

7. Умножение

8. Конюгация

9. Диференциране

10. Интегриране

11. Периодично свиване

Връзка между коефициентите на експоненциалната форма и коефициентите на тригонометричната форма

Когато x (t) е реално, то a и b са реални, имаме

Ефект от сместяване на оста на сигнала

• При сместяване на вълновата форма наляво или надясно спрямо референтната времева ос t = 0, само фазовите стойности на спектъра се променят, но абсолютната стойност на спектъра остава същата.

• При сместяване на вълновата форма нагоре или надолу спрямо времевата ос, се променя само постоянната компонента на функцията.

Изявление: Почитайте оригиналното, добри статии са стойни за споделяне, ако има нарушение на правата, моля се обратете за изтриване.