Тригонометричний ряд Фур'є

Ми вже обговорили ряд Фур'є у показниковій формі. У цій статті ми розглянемо іншу форму ряду Фур'є, а саме тригонометричний ряд Фур'є.

Зображення ряду Фур'є у тригонометричній формі

Тригонометричний ряд Фур'є легко можна отримати з його показникової форми. Комплексне показникове представлення ряду Фур'є періодичного сигналу x(t) з основним періодом To задається наступним чином

Оскільки синус і косинус можна виразити у показниковій формі, маніпулюючи показниковим рядом Фур'є, ми можемо отримати його тригонометричну форму.

Тригонометричне представлення ряду Фур'є періодичного сигналу x (t) з основним періодом T задається наступним чином

Де ak і bk — це коефіцієнти Фур'є, які задаються наступним чином

a0 — це постійна складова сигналу і задається наступним чином

Властивості ряду Фур'є

1. Якщо x(t) є парною функцією, тобто x(- t) = x(t), то bk = 0 і

2. Якщо x(t) є непарною функцією, тобто x(- t) = – x(t), то a0 = 0, ak = 0 і

3. Якщо x(t) є напівсиметричною функцією, тобто x (t) = -x(t ± T0/2), то a0 = 0, ak = bk = 0 для парних k,

4. Лінійність

5. Зміщення за часом

6. Обернення за часом

7. Множення

8. Спряження

9. Диференціювання

10. Інтегрування

11. Періодична конволюція

Зв'язок між коефіцієнтами показникової форми і коефіцієнтами тригонометричної форми

Коли x (t) дійсне, тоді a, і b, дійсні, ми маємо

Вплив зміщення осі сигналу

• При зміщенні форми сигнала ліворуч або праворуч відносно референтної осі часу t = 0 змінюються лише фазові значення спектру, але амплітудний спектр залишається таким же.

• При зміщенні форми сигнала вгору або вниз відносно осі часу змінюється лише постійна складова функції.

Заява: Поважайте оригінал, добре написані статті варті поширення, якщо є порушення авторських прав, зверніться для видалення.