三角関数フーリエ級数

指数形式のフーリエ級数について既に議論しました。この記事では、別の形式のフーリエ級数、すなわち三角フーリエ級数について議論します。

三角形式でのフーリエ級数表現

三角形式のフーリエ級数は、その指数形式から容易に導出できます。基本周期 To を持つ周期信号 x(t) の複素指数フーリエ級数表現は以下の通りです

サインとコサインは指数形式で表現できるため、指数フーリエ級数を操作することで、その三角形式を得ることができます。

基本周期 T を持つ周期信号 x (t) の三角フーリエ級数表現は以下の通りです

ここで ak と bk は以下のフーリエ係数です

a0 は信号の直流成分であり、以下のように与えられます

フーリエ級数の性質

1. x(t) が偶関数の場合すなわち x(- t) = x(t) であれば、bk = 0 かつ

2. x(t) が奇関数の場合すなわち x(- t) = – x(t) であれば、a0 = 0, ak = 0 かつ

3. x(t) が半対称関数の場合すなわち x (t) = -x(t ± T0/2) であれば、a0 = 0, ak = bk = 0 (k が偶数の場合)

4. 線形性

5. 時間シフト

6. 時間反転

7. 乗算

8. 共役

9. 微分

10. 積分

11. 周期畳み込み

指数形式の係数と三角形式の係数の関係

x (t) が実数の場合、a と b は実数であり、以下のようになります

信号の軸シフトの効果

• 参照時間軸 t = 0 に対して波形を左右にシフトすると、スペクトルの位相値のみが変化し、振幅スペクトルは同じままです。

• 時間軸に対して波形を上下にシフトすると、関数の直流成分のみが変わります。

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