Serie trigonométrica de Fourier

Ya hemos discutido la serie de Fourier en forma exponencial. En este artículo discutiremos otra forma de la serie de Fourier, es decir, la Serie de Fourier Trigonométrica.

Representación de la serie de Fourier en forma trigonométrica

La serie de Fourier en forma trigonométrica se puede derivar fácilmente de su forma exponencial. La representación de la serie de Fourier exponencial compleja de una señal periódica x(t) con período fundamental To está dada por

Dado que el seno y el coseno pueden expresarse en forma exponencial, manipulando la serie de Fourier exponencial, podemos obtener su forma trigonométrica.

La representación de la serie de Fourier trigonométrica de una señal periódica x (t) con período fundamental T, está dada por

Donde ak y bk son los coeficientes de Fourier dados por

a0 es el componente DC de la señal y está dado por

Propiedades de la serie de Fourier

1. Si x(t) es una función par, es decir, x(- t) = x(t), entonces bk = 0 y

2. Si x(t) es una función impar, es decir, x(- t) = – x(t), entonces a0 = 0, ak = 0 y

3. Si x(t) es una función semisimétrica, es decir, x (t) = -x(t ± T0/2), entonces a0 = 0, ak = bk = 0 para k par,

4. Linealidad

5. Desplazamiento en el tiempo

6. Inversión en el tiempo

7. Multiplicación

8. Conjugación

9. Diferenciación

10. Integración

11. Convolución periódica

Relación entre los coeficientes de la forma exponencial y los coeficientes de la forma trigonométrica

Cuando x (t) es real, entonces a, y b, son reales, tenemos

Efecto del desplazamiento del eje de la señal

• Al desplazar la onda a la izquierda o derecha con respecto al eje de tiempo de referencia t = 0, solo cambian los valores de fase del espectro, pero el espectro de magnitud permanece igual.

• Al desplazar la onda hacia arriba o abajo con respecto al eje de tiempo, solo cambia el valor DC de la función.

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