त्रिकोणमितीय फूरिये श्रेणी

हम पहले से ही घातांकीय रूप में फुरिये श्रेणी का विचार कर चुके हैं। इस लेख में हम फुरिये श्रेणी के एक अन्य रूप, जो त्रिकोणमितीय फुरिये श्रेणी है, का विचार करेंगे।

त्रिकोणमितीय रूप में फुरिये श्रेणी का प्रतिनिधित्व

त्रिकोणमितीय रूप में फुरिये श्रेणी उसके घातांकीय रूप से आसानी से व्युत्पन्न की जा सकती है। एक आवर्ती सिग्नल x(t) के लिए जिसका मूलभूत आवर्त To है, उसका जटिल घातांकीय फुरिये श्रेणी का प्रतिनिधित्व दिया जाता है

चूंकि ज्या और कोज्या को घातांकीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसलिए घातांकीय फुरिये श्रेणी को निपुणता से संचालित करके, हम इसका त्रिकोणमितीय रूप प्राप्त कर सकते हैं।

आवर्ती सिग्नल x (t) के लिए जिसका मूलभूत आवर्त T है, त्रिकोणमितीय फुरिये श्रेणी का प्रतिनिधित्व दिया जाता है

जहाँ ak और bk फुरिये गुणांक हैं जो दिए जाते हैं

a0 सिग्नल का डीसी घटक है और यह दिया जाता है

फुरिये श्रेणी के गुणधर्म

1. यदि x(t) एक सम फलन है अर्थात् x(- t) = x(t), तो bk = 0 और

2. यदि x(t) एक विषम फलन है अर्थात् x(- t) = – x(t), तो a0 = 0, ak = 0 और

3. यदि x(t) एक आधा सममित फलन है अर्थात् x (t) = -x(t ± T0/2), तो a0 = 0, ak = bk = 0 for k even,

4. रेखीयता

5. समय विस्थापन

6. समय उलटन

7. गुणन

8. संयुग्मन

9. अवकलन

10. समाकलन

11. आवर्ती अतिरिक्त गुणन

घातांकीय रूप के गुणांक और त्रिकोणमितीय रूप के गुणांक के बीच संबंध

जब x (t) वास्तविक होता है, तो a, और b, वास्तविक होते हैं, हमारे पास

सिग्नल के अक्ष को विस्थापित करने का प्रभाव

• संदर्भ समय अक्ष t = 0 के संबंध में वेवफॉर्म को बाएँ या दाएँ विस्थापित करने पर केवल स्पेक्ट्रम के दशा मान बदलते हैं, लेकिन आयाम स्पेक्ट्रम एक ही रहता है।

• समय अक्ष के संबंध में वेवफॉर्म को ऊपर या नीचे विस्थापित करने पर केवल फलन का डीसी मान बदलता है।

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