Тригонометрический ряд Фурье

Мы уже обсуждали ряд Фурье в экспоненциальной форме. В этой статье мы обсудим другую форму ряда Фурье, а именно тригонометрический ряд Фурье.

Представление ряда Фурье в тригонометрической форме

Тригонометрический ряд Фурье можно легко вывести из его экспоненциальной формы. Комплексное экспоненциальное представление ряда Фурье периодического сигнала x(t) с основным периодом To задается следующим образом

Поскольку синус и косинус могут быть выражены в экспоненциальной форме, манипулируя экспоненциальным рядом Фурье, мы можем получить его тригонометрическую форму.

Тригонометрическое представление ряда Фурье периодического сигнала x (t) с основным периодом T задается следующим образом

Где ak и bk — это коэффициенты Фурье, заданные следующим образом

a0 является постоянной составляющей сигнала и задается следующим образом

Свойства ряда Фурье

1. Если x(t) — четная функция, то есть x(- t) = x(t), тогда bk = 0 и

2. Если x(t) — нечетная функция, то есть x(- t) = – x(t), тогда a0 = 0, ak = 0 и

3. Если x(t) — полусимметричная функция, то есть x (t) = -x(t ± T0/2), тогда a0 = 0, ak = bk = 0 для четных k,

4. Линейность

5. Сдвиг по времени

6. Обратное преобразование по времени

7. Умножение

8. Сопряжение

9. Дифференцирование

10. Интегрирование

11. Периодическая свертка

Связь между коэффициентами экспоненциальной формы и коэффициентами тригонометрической формы

Когда x (t) — вещественная, тогда a и b — вещественные, мы имеем

Влияние сдвига оси сигнала

• При смещении сигнала влево или вправо относительно временной оси t = 0 изменяются только фазовые значения спектра, но амплитудный спектр остается прежним.

• При смещении сигнала вверх или вниз относительно временной оси изменяется только постоянная составляющая функции.

Заявление: Уважайте оригинальные, хорошие статьи, достойные обмена, если есть нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.