Sèrie trigonomètrica de Fourier

Ja hem discutit la sèrie de Fourier en forma exponencial. En aquest article discutirem una altra forma de sèrie de Fourier, és a dir, la sèrie de Fourier trigonomètrica.

Representació de la sèrie de Fourier en forma trigonomètrica

La sèrie de Fourier en forma trigonomètrica es pot derivar fàcilment de la seva forma exponencial. La representació de la sèrie de Fourier exponencial complexa d'un senyal periòdic x(t) amb període fonamental To es dóna per

Com que el sinus i el cosinus es poden expressar en forma exponencial, manipulant la sèrie de Fourier exponencial, podem obtenir la seva forma trigonomètrica.

La sèrie de Fourier trigonomètrica d'un senyal periòdic x (t) amb període fonamental T, es dóna per

On ak i bk són els coeficients de Fourier donats per

a0 és el component de corrent contínua del senyal i es dóna per

Propietats de la sèrie de Fourier

1. Si x(t) és una funció parella, és a dir, x(- t) = x(t), llavors bk = 0 i

2. Si x(t) és una funció imparella, és a dir, x(- t) = – x(t), llavors a0 = 0, ak = 0 i

3. Si x(t) és una funció semisimètrica, és a dir, x (t) = -x(t ± T0/2), llavors a0 = 0, ak = bk = 0 per k parell,

4. Linealitat

5. Desplaçament temporal

6. Inversió temporal

7. Multiplicació

8. Conjugació

9. Diferenciació

10. Integració

11. Convolució periòdica

Relació entre els coeficients de la forma exponencial i els coeficients de la forma trigonomètrica

Quan x (t) és real, llavors a, i b, són reals, tenim

Efecte del desplaçament de l'eix del senyal

• En desplaçar la forma d'ona a l'esquerra o a la dreta respecte a l'eix de temps de referència t = 0, només canvien els valors de fase de l'espectre, però l'espectre de magnitud roman igual.

• En desplaçar la forma d'ona cap amunt o cap avall respecte a l'eix de temps, només canvia el valor de corrent contínua de la funció.

Declaració: Respeteu l'original, bons articles dignes de ser compartits, si hi ha infracció contacteu per a eliminar.