อนุกรมฟูริเยร์เชิงตรีโกณมิติ

เราได้พูดถึงอนุกรมฟูเรียร์ในรูปแบบเลขชี้กำลังไปแล้ว ในบทความนี้เราจะพูดถึงรูปแบบอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรมฟูเรียร์ คือ อนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติ.

การนำเสนออนุกรมฟูเรียร์ในรูปแบบตรีโกณมิติ

อนุกรมฟูเรียร์ในรูปแบบตรีโกณมิติ สามารถสร้างได้ง่ายจากรูปแบบเลขชี้กำลัง อนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อนที่เป็นตัวแทนของสัญญาณคาบ x(t) ที่มีคาบหลัก To กำหนดโดย

เนื่องจากไซน์และโคไซน์สามารถแสดงในรูปแบบเลขชี้กำลังได้ ดังนั้นโดยการจัดการกับอนุกรมฟูเรียร์เชิงซ้อน เราสามารถได้รูปแบบตรีโกณมิติ.

การนำเสนอ อนุกรมฟูเรียร์ตรีโกณมิติ ของสัญญาณคาบ x (t) ที่มีคาบหลัก T กำหนดโดย

เมื่อ ak และ bk เป็นสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์กำหนดโดย

a0 เป็นส่วนประกอบ DC ของสัญญาณและกำหนดโดย

สมบัติของอนุกรมฟูเรียร์

1. ถ้า x(t) เป็นฟังก์ชันคู่ กล่าวคือ x(- t) = x(t) แล้ว bk = 0 และ

2. ถ้า x(t) เป็นฟังก์ชันคี่ กล่าวคือ x(- t) = – x(t) แล้ว a0 = 0, ak = 0 และ

3. ถ้า x(t) เป็นฟังก์ชันครึ่งสมมาตร กล่าวคือ x (t) = -x(t ± T0/2) แล้ว a0 = 0, ak = bk = 0 สำหรับ k คู่,

4. ความเชิงเส้น

5. การเลื่อนเวลา

6. การย้อนเวลากลับ

7. การคูณ

8. การคอนจูเกต

9. การหาอนุพันธ์

10. การหาปริพันธ์

11. การคอนโวลูชันคาบ

ความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของรูปแบบเลขชี้กำลังและสัมประสิทธิ์ของรูปแบบตรีโกณมิติ

เมื่อ x (t) เป็นจริง แล้ว a และ b เป็นจริง เราจะได้

ผลกระทบจากการเลื่อนแกนของสัญญาณ

• เมื่อเลื่อนรูปคลื่นไปทางซ้ายหรือขวาเทียบกับแกนเวลาอ้างอิง t = 0 จะทำให้ค่าเฟสของสเปกตรัมเปลี่ยนแปลง แต่สเปกตรัมขนาดยังคงเดิม

• เมื่อเลื่อนรูปคลื่นขึ้นหรือลงเทียบกับแกนเวลาจะเปลี่ยนเฉพาะค่า DC ของฟังก์ชัน

คำแถลง: ขอขอบคุณบทความที่ดีและมีคุณภาพ หากมีการละเมิดลิขสิทธิ์โปรดติดต่อเพื่อลบออก