त्रिकोणमितीय फुरिये श्रेणी

हामी पहिले फुरिये श्रेणी को चाँद्र रूप मा विचार गरेका छौं। यस लेख मा हामी फुरिये श्रेणीको अन्य रूप यानि त्रिकोणमितीय फुरिये श्रेणी बारे चर्चा गर्नेछौं।

त्रिकोणमितीय रूपमा फुरिये श्रेणीको प्रतिनिधित्व

त्रिकोणमितीय रूपमा फुरिये श्रेणी उसको चाँद्र रूपबाट आसानी से निकालिन सकिन्छ। एउटा चक्रीय सिग्नल x(t) जसको मूलभूत चक्र T_o छ, उसको जटिल चाँद्र फुरिये श्रेणीको प्रतिनिधित्व यसरी दिइन्छ

चूँकि ज्या र कोज्या को चाँद्र रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ। त्यसैले चाँद्र फुरिये श्रेणीलाई छलफल गर्दा, त्यसको त्रिकोणमितीय रूप प्राप्त गर्न सकिन्छ।

मूलभूत चक्र T भएको एउटा चक्रीय सिग्नल x (t) को त्रिकोणमितीय फुरिये श्रेणीको प्रतिनिधित्व यसरी दिइन्छ

जहाँ a_k र b_k फुरिये गुणांक हुन् जसलाई यसरी दिइन्छ

a₀ सिग्नलको डीसी घटक हो र यसरी दिइन्छ

फुरिये श्रेणीको गुणधर्महरू

1. यदि x(t) एक सम फलन हो यानि x(- t) = x(t), त्यसपछि b_k = 0 र

2. यदि x(t) एक विषम फलन हो यानि x(- t) = – x(t), त्यसपछि a₀ = 0, a_k = 0 र

3. यदि x(t) आधा सममितिक फलन हो यानि x (t) = -x(t ± T₀/2), त्यसपछि a₀ = 0, a_k = b_k = 0 जहाँ k सम हो,

4. रेखीयता

5. समय विस्थापन

6. समय विपरीत

7. गुणन

8. संयुग्म

9. अवकलन

10. समाकलन

11. चक्रीय गुणन

चाँद्र रूप र त्रिकोणमितीय रूपको गुणांकहरूको बीचको सम्बन्ध

जब x (t) वास्तविक हो, तब a र b वास्तविक हुन्छ, हामीलाई यसरी मिल्छ

सिग्नलको अक्ष विस्थापनको प्रभाव

• सन्दर्भ समय अक्ष t = 0 विरुद्ध वेवफार्मलाई बायाँ वा दायाँ विस्थापन गर्दा केवल स्पेक्ट्रमको दशा मानहरूले परिवर्तन गर्छन् तर अन्तर्गत स्पेक्ट्रम समान रहन्छ।

• समय अक्ष विरुद्ध वेवफार्मलाई ऊपर वा तल विस्थापन गर्दा केवल फलनको डीसी मान परिवर्तन गर्छ।

थप: