Trigonometrisk Fourier-rekke

Vi har allerede diskutert Fourier-rekker i eksponentialform. I denne artikkelen vil vi diskutere en annen form for Fourier-rekker, nemlig trigonometriske Fourier-rekker.

Fourier-rekkens representasjon i trigonometrisk form

Trigonometriske Fourier-rekker kan lett utledes fra sin eksponentialform. Den komplekse eksponentielle Fourier-rekkens representasjon av et periodisk signal x(t) med grunnperiode To er gitt ved

Siden sinus og cosinus kan uttrykkes i eksponentialform, kan vi ved manipulering av den eksponentielle Fourier-rekken, oppnå dens trigonometriske form.

Den trigonometriske Fourier-rekkens representasjon av et periodisk signal x (t) med grunnperiode T, er gitt ved

Der ak og bk er Fourier-koeffisienter gitt ved

a0 er det direkte komponenten av signalet og er gitt ved

Egenskaper til Fourier-rekker

1. Hvis x(t) er en even funksjon dvs. x(- t) = x(t), så er bk = 0 og

2. Hvis x(t) er en odd funksjon dvs. x(- t) = – x(t), så er a0 = 0, ak = 0 og

3. Hvis x(t) er en halv-symmetrisk funksjon dvs. x (t) = -x(t ± T0/2), så er a0 = 0, ak = bk = 0 for k partall,

4. Linearitet

5. Tidsforskyvning

6. Tidsreversering

7. Multiplikasjon

8. Konjugasjon

9. Differensiering

10. Integrering

11. Periodisk konvolusjon

Forholdet mellom koeffisientene i eksponentialform og koeffisientene i trigonometrisk form

Når x (t) er reell, da er a, og b, reelle, vi har

Effekt av skifte av aksen til signalet

• Ved å flytte bølgeformen til venstre eller høyre i forhold til referansepunktet t = 0, endres bare fasen til spekteret, men magnituden av spekteret forblir den samme.

• Ved å flytte bølgeformen oppover eller nedover i forhold til tidsaksen, endres kun DC-verdien til funksjonen.

Erklæring: Respektér originaliteten, gode artikler er verd at de delas, hvis det foreligger overtredelse, kontakt for sletting.