سری فوریه مثلثاتی

ما قبلاً در مورد سری فوریه به صورت نمایی صحبت کردیم. در این مقاله، ما شکل دیگری از سری فوریه یعنی سری فوریه مثلثاتی را بررسی خواهیم کرد.

نمایش سری فوریه به صورت مثلثاتی

سری فوریه به صورت مثلثاتی به راحتی از شکل نمایی آن قابل استخراج است. نمایش سری فوریه نمایی پیچیده یک سیگنال متناوب x(t) با دوره بنیادی To به صورت زیر است

از آنجا که سینوس و کسینوس می‌توانند به صورت نمایی بیان شوند. بنابراین با تغییر سری فوریه نمایی، می‌توانیم شکل مثلثاتی آن را به دست آوریم.

نمایش سری فوریه مثلثاتی یک سیگنال متناوب x (t) با دوره بنیادی T، به صورت زیر است

که در آن ak و bk ضرایب فوریه هستند که به صورت زیر تعیین می‌شوند

a0 مؤلفه مستقیم سیگنال است و به صورت زیر تعیین می‌شود

ویژگی‌های سری فوریه

1. اگر x(t) یک تابع زوج باشد یعنی x(- t) = x(t)، آنگاه bk = 0 و

2. اگر x(t) یک تابع فرد باشد یعنی x(- t) = – x(t)، آنگاه a0 = 0, ak = 0 و

3. اگر x(t) یک تابع نیمه متقارن باشد یعنی x (t) = -x(t ± T0/2)، آنگاه a0 = 0, ak = bk = 0 برای k زوج،

4. خطی بودن

5. جابجایی زمانی

6. معکوس زمانی

7. ضرب

8. مزدوج

9. مشتق‌گیری

10. انتگرال‌گیری

11. کانولوشن متناوب

رابطه بین ضرایب شکل نمایی و ضرایب شکل مثلثاتی

وقتی x (t) حقیقی است، a و b حقیقی هستند، ما داریم

اثر جابجایی محور سیگنال

• در جابجایی موج به چپ یا راست نسبت به محور زمان مرجع t = 0 فقط مقادیر فاز طیف تغییر می‌کنند ولی طیف بزرگی ثابت می‌ماند.

• در جابجایی موج به بالا یا پایین نسبت به محور زمان فقط مقدار مستقیم تابع تغییر می‌کند.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاری دارند، در صورت نقض حق تکثیر لطفاً تماس بگیرید.