Szereg Fouriera trygonometryczny

Już omówiliśmy szereg Fouriera w postaci wykładniczej. W tym artykule omówimy inną formę szeregu Fouriera, czyli trygonometryczny szereg Fouriera.

Reprezentacja szeregu Fouriera w postaci trygonometrycznej

Trygonometryczny szereg Fouriera można łatwo wyprowadzić z jego postaci wykładniczej. Złożona wykładnicza reprezentacja szeregu Fouriera okresowego sygnału x(t) o podstawowym okresie To jest dana przez

Ponieważ sinus i cosinus mogą być wyrażone w postaci wykładniczej. Dlatego manipulując wykładniczym szeregiem Fouriera, możemy uzyskać jego postać trygonometryczną.

Trygonometryczna reprezentacja szeregu Fouriera okresowego sygnału x (t) o podstawowym okresie T, jest dana przez

Gdzie ak i bk są współczynnikami Fouriera danymi przez

a0 to składowa stała sygnału i jest dana przez

Własności szeregu Fouriera

1. Jeśli x(t) jest funkcją parzystą tzn. x(- t) = x(t), to bk = 0 i

2. Jeśli x(t) jest funkcją nieparzystą tzn. x(- t) = – x(t), to a0 = 0, ak = 0 i

3. Jeśli x(t) jest funkcją półsymetryczną tzn. x (t) = -x(t ± T0/2), to a0 = 0, ak = bk = 0 dla k parzystych,

4. Liniowość

5. Przesunięcie w czasie

6. Odwrócenie czasu

7. Mnożenie

8. Sprzężenie

9. Różniczkowanie

10. Całkowanie

11. Okresowa splot

Związek między współczynnikami postaci wykładniczej a współczynnikami postaci trygonometrycznej

Kiedy x (t) jest rzeczywiste, to a, i b, są rzeczywiste, mamy

Wpływ przesunięcia osi sygnału

• Przy przesunięciu fali w lewo lub w prawo względem odniesienia do osi czasu t = 0 zmieniają się tylko wartości fazowe widma, ale amplitudowe widmo pozostaje takie samo.

• Przy przesunięciu fali w górę lub w dół względem osi czasu zmienia się tylko wartość stałoprądowa funkcji.

Oświadczenie: Szanuj oryginał, dobre artykuły są warte udostępniania, w przypadku naruszenia praw autorskich prosimy o kontakt w celu usunięcia.