Laplacetransformatietabel formule voorbeelden en eigenschappen
Laplacetransformatie is een techniek voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Hierbij wordt de differentiaalvergelijking in tijddomeinvorm eerst omgezet naar een algebraïsche vergelijking in frequentiedomeinvorm. Na het oplossen van de algebraïsche vergelijking in het frequentiedomein, wordt het resultaat uiteindelijk teruggetransformeerd naar de tijddomeinvorm om de uiteindelijke oplossing van de differentiaalvergelijking te verkrijgen. Met andere woorden kan gezegd worden dat de Laplacetransformatie niets anders is dan een snelle methode om een differentiaalvergelijking op te lossen.
In dit artikel zullen we Laplace-transformaties bespreken en hoe ze worden gebruikt om differentiaalvergelijkingen op te lossen. Ze bieden ook een methode om een overdrachtsfunctie voor een in-uit-systeem te vormen, maar dit zal hier niet besproken worden. Ze vormen de basis voor regeltechniek, met behulp van blokschema's, enz.
Er bestaan al vele soorten transformaties, maar Laplace-transformaties en Fourier-transformaties zijn de bekendste. De Laplace-transformatie wordt meestal gebruikt om een differentiaalvergelijking te vereenvoudigen tot een eenvoudig en oplosbaar algebraïsch probleem. Zelfs wanneer de algebra een beetje complex wordt, is het nog steeds gemakkelijker op te lossen dan een differentiaalvergelijking oplossen.
Laplace Transformatietabel
Er is altijd een tabel beschikbaar voor de ingenieur die informatie bevat over Laplace-transformaties. Een voorbeeld van Laplace-transformatietabel is hieronder gemaakt. We zullen te weten komen over de Laplace-transformatie van verschillende veelvoorkomende functies uit de volgende tabel.
Laplace Transformatie Definitie
Bij het leren van de Laplace-transformatie is het belangrijk niet alleen de tabellen te begrijpen, maar ook de formule.
Om de Laplace-transformatieformule te begrijpen: Laat f(t) de functie van t, tijd, zijn voor alle t ≥ 0
Dan kan de Laplace-transformatie van f(t), F(s), gedefinieerd worden als
Onder voorwaarde dat het integraal bestaat. Waarbij de Laplace-operator, s = σ + jω; reëel of complex zal zijn, j = √(-1)
Nadelen van de Laplace-transformatiemethode
Laplace-transformaties kunnen alleen worden gebruikt om complexe differentiaalvergelijkingen op te lossen en net zoals alle grote methoden heeft deze methode een nadeel, dat misschien niet zo groot lijkt. Dat is, je kunt deze methode alleen gebruiken om differentiaalvergelijkingen OP TE LOSSEN MET BEKENDE CONSTANTEN. Als je wel een vergelijking hebt zonder de bekende constanten, dan is deze methode nutteloos en zul je een andere methode moeten vinden.
Geschiedenis van Laplace-transformaties
Transformatie in de wiskunde houdt zich bezig met de conversie van één functie naar een andere functie die mogelijk niet in hetzelfde domein is. De transformatiemethode vindt toepassing bij problemen die niet direct kunnen worden opgelost. Deze transformatie is genoemd naar de wiskundige en gerenommeerde astronoom Pierre Simon Laplace, die in Frankrijk leefde.
Hij gebruikte een soortgelijke transformatie in zijn toevoegingen aan de waarschijnlijkheidstheorie. Het werd populair na de Tweede Wereldoorlog. Deze transformatie werd populair gemaakt door Oliver Heaviside, een Engelse Elektrotechnisch Ingenieur. Andere beroemde wetenschappers zoals Niels Abel, Mathias Lerch en Thomas Bromwich gebruikten het in de 19e eeuw.
De volledige geschiedenis van de Laplace-transformaties kan iets verder in het verleden worden getraceerd, meer specifiek 1744. Dit is wanneer een andere grote wiskundige genaamd Leonhard Euler onderzoek deed naar andere soorten integralen. Euler ging echter niet ver met het en liet het achter. Een bewonderaar van Euler, genaamd Joseph Lagrange, maakte enkele wijzigingen in Eulers werk en deed verdere werkzaamheden. Lagranges werk trok 38 jaar later, in 1782, de aandacht van Laplace, waar hij doorging waar Euler was gestopt. Maar het duurde drie jaar later, in 1785, voordat Laplace een briljante ingeving kreeg en de manier waarop we differentiaalvergelijkingen oplossen voor altijd veranderde. Hij bleef eraan werken en ontdekte geleidelijk aan de ware kracht van de Laplace-transformatie totdat in 1809, waar hij begon oneindigheid als integraalconditie te gebruiken.
