Bảng biến đổi Laplace, Công thức, Ví dụ & Thuộc tính

Biến đổi Laplace là một kỹ thuật để giải phương trình vi phân. Phương trình vi phân dạng thời gian được chuyển đổi thành phương trình đại số dạng tần số. Sau khi giải phương trình đại số trong miền tần số, kết quả sau đó được chuyển đổi trở lại dạng thời gian để đạt được giải pháp cuối cùng của phương trình vi phân. Nói cách khác, biến đổi Laplace chỉ là một phương pháp ngắn gọn để giải phương trình vi phân.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về biến đổi Laplace và cách sử dụng chúng để giải phương trình vi phân. Chúng cũng cung cấp một phương pháp để tạo hàm truyền cho hệ thống đầu vào-đầu ra, nhưng điều này sẽ không được thảo luận ở đây. Chúng cung cấp các khối xây dựng cơ bản cho kỹ thuật điều khiển, sử dụng sơ đồ khối, v.v.

Nhiều loại biến đổi đã tồn tại nhưng biến đổi Laplace và biến đổi Fourier là những loại phổ biến nhất. Biến đổi Laplace thường được sử dụng để đơn giản hóa một phương trình vi phân thành một bài toán đại số đơn giản và có thể giải quyết. Ngay cả khi bài toán đại số trở nên phức tạp hơn một chút, nó vẫn dễ giải hơn so với việc giải một phương trình vi phân.

Bảng biến đổi Laplace

Luôn có một bảng sẵn sàng cho kỹ sư chứa thông tin về biến đổi Laplace. Một ví dụ về bảng biến đổi Laplace đã được đưa ra dưới đây. Chúng ta sẽ biết về biến đổi Laplace của các hàm thông dụng từ bảng sau.

Định nghĩa biến đổi Laplace

Khi học biến đổi Laplace, quan trọng là phải hiểu không chỉ bảng - mà còn công thức nữa.

Để hiểu công thức biến đổi Laplace: Đầu tiên, hãy đặt f(t) là hàm của t, thời gian cho tất cả t ≥ 0

Thì biến đổi Laplace của f(t), F(s) có thể được định nghĩa là

Điều kiện là tích phân tồn tại. Trong đó, toán tử Laplace, s = σ + jω; sẽ là số thực hoặc phức j = √(-1)

Nhược điểm của phương pháp biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace chỉ có thể được sử dụng để giải các phương trình vi phân phức tạp và như mọi phương pháp tuyệt vời, nó cũng có nhược điểm, có thể không quá lớn. Đó là, bạn chỉ có thể sử dụng phương pháp này để giải các phương trình vi phân CÓ hằng số đã biết. Nếu bạn có một phương trình không có hằng số đã biết, thì phương pháp này vô ích và bạn sẽ phải tìm một phương pháp khác.

Lịch sử của biến đổi Laplace

Biến đổi trong toán học liên quan đến việc chuyển đổi một hàm sang một hàm khác có thể không thuộc cùng miền. Phương pháp biến đổi được áp dụng trong những vấn đề không thể giải trực tiếp. Biến đổi này được đặt tên theo nhà toán học và thiên văn học nổi tiếng Pierre Simon Laplace, người sống ở Pháp.

Ông đã sử dụng một biến đổi tương tự trên các bổ sung của mình vào lý thuyết xác suất. Nó trở nên phổ biến sau Thế chiến thứ hai. Phương pháp biến đổi này được Oliver Heaviside, một kỹ sư điện người Anh, làm nổi tiếng. Các nhà khoa học nổi tiếng khác như Niels Abel, Mathias Lerch và Thomas Bromwich đã sử dụng nó vào thế kỷ 19.

Lịch sử đầy đủ của biến đổi Laplace có thể được theo dõi xa hơn một chút, cụ thể là năm 1744. Đây là khi một nhà toán học vĩ đại khác tên là Leonhard Euler đang nghiên cứu về các loại tích phân khác. Euler tuy nhiên không tiếp tục quá xa và dừng lại. Một người hâm mộ của Euler tên là Joseph Lagrange; đã thực hiện một số sửa đổi đối với công trình của Euler và tiếp tục công việc. Công trình của LaGrange đã thu hút sự chú ý của Laplace 38 năm sau, vào năm 1782, nơi ông tiếp tục từ chỗ Euler dừng lại. Nhưng chỉ ba năm sau, vào năm 1785, Laplace đã có một đột phá và thay đổi cách chúng ta giải phương trình vi phân mãi mãi. Ông tiếp tục làm việc trên nó và tiếp tục mở khóa sức mạnh thực sự của biến đổi Laplace cho đến năm 1809, nơi ông bắt đầu sử dụng vô cùng làm điều kiện tích phân.

Phương pháp biến đổi Laplace