Laplace'i teisenduse tabel formaalid näited ja omadused

Laplace'i teisendus on meetod diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Siin ajapiirkonna diferentsiaalvõrrand esmalt teisendatakse sageduspiirkonna algebralise võrrandina. Pärast sageduspiirkonnas oleva algebralise võrrandi lahendamist tulemus lõpuks teisendatakse taas ajapiirkonna kujul, et saavutada diferentsiaalvõrrandi lõplik lahendus. Teisisõnu, Laplace'i teisendus on vaid kiirmeetod diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks.

Selles artiklis arutame Laplace'i teisendusi ja nende kasutamist diferentsiaalvõrrandite lahendamisel. Nad pakuvad ka meetodit sisendi- väljundi süsteemi ülekande funktsiooni moodustamiseks, kuid seda siin arutatakse mitte. Nad pakkuvad kontrollinseneridele baaselemente, kasutades blokkdiagramme jne.

Olemas on palju erinevat tüüpi teisendusi, kuid Laplace'i teisendused ja Fourieri teisendused on kõige paremini tuntud. Laplace'i teisendust kasutatakse tavaliselt diferentsiaalvõrrandi lihtsustamiseks lihtsa ja lahendatava algebralise probleemiks. Isegi siis, kui algebra muutub natuke keerulisemaks, on see endiselt lihtsam lahendada kui diferentsiaalvõrrandi lahendamine.

Laplace'i teisenduste tabel

Inženieril on alati kättesaadav tabel, mis sisaldab informatsiooni Laplace'i teisendustest. Laplace'i teisenduse tabeli näide on toodud allpool. Järgmisest tabelist saame teada erinevate tavaliste funktsioonide Laplace'i teisendustest.

Laplace'i teisenduse definitsioon

Kui õpite Laplace'i teisendust, on oluline mõista mitte ainult tabelid – vaid ka valem.

Laplace'i teisenduse valemite mõistmiseks: Esiteks, olgu f(t) t funktsioon, aeg t kõigile t ≥ 0

Siis f(t) Laplace'i teisendus F(s) defineeritakse kui

Vastavalt sellele, et integraal eksisteerib. Kus Laplace'i operaator, s = σ + jω; on reaalne või kompleksarv j = √(-1)

Laplace'i teisenduse meetodi ebaduslikkused

Laplace'i teisendust saab kasutada ainult keeruliste diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks ja nagu kõik suurepärased meetodid, on sellel ka ebaelevant, mis ei näigu nii suur. See tähendab, et seda meetodit saab kasutada ainult diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks TUNNISTATUD konstantidega. Kui teil on võrrand, kus konstandid ei ole teada, siis see meetod on kasutamatu ja peate leidma mõnda muud meetodit.

Laplace'i teisenduste ajalugu

Matemaatika teisendus käsitlustega seoses teisendatakse ühe funktsiooni teise funktsiooniga, mis võib olla sama domääris. Teisendusmeetodit kasutatakse nende probleemide lahendamisel, mida ei saa lahendada otse. See teisendus on nimetatud matemaatiku ja tuntud astronoomi Pierre Simon Laplace'i järgi, kes elas Prantsusmaal.

Ta kasutas sarnast teisendust oma lisadele tõenäosusteooriale. See sai populaarseks Teise Maailmasõja järel. Selle teisenduse populaarseks tegi inglise elektritehnik Oliver Heaviside. Muud kuulsad teadlased, sealhulgas Niels Abel, Mathias Lerch ja Thomas Bromwich, kasutasid seda 19. sajandil.

Laplace'i teisenduste täielik ajalugu ulatub veidi minevikku, konkreetsemalt 1744. aastani. See on see hetk, mil teine suur matemaatik nimega Leonhard Euler uuris erinevatüübilisi integraale. Euler aga ei jätkanud seda väga kaugele ja jättis selle vahele. Euleri imelane, nimega Joseph Lagrange, tekitas mõned muudatused Euleri tööle ja jätkas tööd. LaGrange'i töö saavutas Laplace'i tähelepanu 38 aastat hiljem, 1782. aastal, kus ta jätkas Euleri järel. Kuid polnud kolm aastat hiljem, 1785. aastal, kus Laplace sai loogikahommikunna ja muutis igaveseks viisi, kuidas me lahendame diferentsiaalvõrrandeid. Ta jätkas tööd selle peale ja jätkas avastamist Laplace'i