Таблиця Лапласа, формули, приклади та властивості

Перетворення Лапласа - це метод вирішення диференціальних рівнянь. В цьому методі диференціальне рівняння у формі часового домену спочатку перетворюється на алгебраїчне рівняння у частотному домені. Після вирішення алгебраїчного рівняння у частотному домені, результат потім остаточно перетворюється назад у часовий домен, щоб досягти кінцевого розв'язку диференціального рівняння. Іншими словами, можна сказати, що перетворення Лапласа - це просто скорочений метод вирішення диференціальних рівнянь.

У цій статті ми будемо обговорювати перетворення Лапласа та те, як вони використовуються для вирішення диференціальних рівнянь. Вони також надають метод формування передавальної функції для системи вхід-вихід, але це не буде обговорено тут. Вони забезпечують основні будівельні блоки для інженерії контролю, використовуючи блок-схеми тощо.

Існує багато видів перетворень, але перетворення Лапласа та перетворення Фур'є найбільш відомі. Перетворення Лапласа зазвичай використовуються для спрощення диференціального рівняння до простого і вирішуваного алгебраїчного завдання. Навіть коли алгебра стає трохи складною, все ж легше вирішити, ніж вирішувати диференціальне рівняння.

Таблиця перетворення Лапласа

Завжди є таблиця, доступна інженерам, яка містить інформацію про перетворення Лапласа. Приклад таблиці перетворення Лапласа наведено нижче. Ми дізнаємося про перетворення Лапласа різних загальних функцій з наступної таблиці.

Означення перетворення Лапласа

При вивченні перетворення Лапласа важливо зрозуміти не лише таблиці, але й формулу.

Щоб зрозуміти формулу перетворення Лапласа: Спочатку нехай f(t) - функція t, часу для всіх t ≥ 0

Тоді перетворення Лапласа f(t), F(s) можна визначити як

При умові, що інтеграл існує. Де оператор Лапласа, s = σ + jω; буде дійсним або комплексним, j = √(-1)

Недоліки методу перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа можуть використовуватися лише для вирішення складних диференціальних рівнянь, і, як і всі великі методи, вони мають недолік, який може не здаватися таким величезним. Це те, що ви можете використовувати цей метод для вирішення диференціальних рівнянь ТИЛЬКИ З ВІДОМИМИ КОНСТАНТАМИ. Якщо у вас є рівняння без відомих констант, то цей метод корисний, і вам доведеться знайти інший метод.

Історія перетворення Лапласа

Перетворення в математиці займається перетворенням однієї функції в іншу, яка може не бути в тому ж домені. Метод перетворення знаходить застосування в задачах, які не можна вирішити безпосередньо. Це перетворення названо на честь математика і відомого астронома П'єра Симона Лапласа, який жив у Франції.

Він використовував подібне перетворення у своїх доповненнях до теорії ймовірностей. Воно стало популярним після Другої світової війни. Це перетворення популяризував Олівер Гевісайд, англійський електроінженер. Інші відомі вчені, такі як Нільс Абель, Матіас Лерх та Томас Бромвіч, використовували його в 19 столітті.