Táboa da Transformada de Laplace Fórmula Exemplos e Propiedades

A transformada de Laplace é unha técnica para resolver ecuacións diferenciais. Aquí, a ecuación diferencial na forma do dominio do tempo primeiro se transforma en unha ecuación alxébrica na forma do dominio da frecuencia. Despois de resolver a ecuación alxébrica no dominio da frecuencia, o resultado finalmente se transforma de novo na forma do dominio do tempo para lograr a solución final da ecuación diferencial. En outras palabras, pode dicirse que a transformada de Laplace non é máis que un método abreviado para resolver ecuacións diferenciais.

Neste artigo, discutiremos as transformadas de Laplace e como se utilizan para resolver ecuacións diferenciais. Tamén proporcionan un método para formar unha función de transferencia para un sistema de entrada-saída, pero isto non se discutirá aquí. Proporcionan os bloques básicos para a xinebra de control, usando diagramas de bloques, etc.

Xa existen moitos tipos de transformadas, pero as transformadas de Laplace e transformadas de Fourier son as máis coñecidas. As transformadas de Laplace adoitan usarse para simplificar unha ecuación diferencial nun problema alxébrico simple e resoluble. Aínda cando a álxebra se torna un pouco complexa, aínda é máis doado de resolver que resolver unha ecuación diferencial.

Táboa de Transformadas de Laplace

Sempre hai unha táboa dispoñible para o enxeñeiro que contén información sobre as transformadas de Laplace. Un exemplo de táboa de transformadas de Laplace faiuse abaixo. Conoceremos as transformadas de Laplace de varias funcións comúns a partir da seguinte táboa.

Definición da Transformada de Laplace

Ao aprender a transformada de Laplace, é importante entender non só as táboas, senón tamén a fórmula.

Para entender a fórmula da transformada de Laplace: Primeiro, sexa f(t) a función de t, tempo para todo t ≥ 0

Entón a transformada de Laplace de f(t), F(s) pódese definir como

Supondo que a integral existe. Onde o operador de Laplace, s = σ + jω; será real ou complexo j = √(-1)

Desvantaxes do Método de Transformada de Laplace

As transformadas de Laplace só poden usarse para resolver ecuacións diferenciais complexas e, como todos os grandes métodos, ten unha desvantaxe, que pode non parecer tan grande. É que só podes usar este método para resolver ecuacións diferenciais CON constantes coñecidas. Se tes unha ecuación sen as constantes coñecidas, entón este método é inútil e terás que atopar outro método.

História das Transformadas de Laplace

A transformación en matemáticas trátase da conversión dunha función noutra función que pode non estar no mesmo dominio. O método de transformación aplica-se nos problemas que non se poden resolver directamente. Esta transformación denomínase así polo matemático e afamado astrónomo Pierre Simon Laplace, que viviu en Francia.

Usou unha transformación semellante nas súas adicións á teoría da probabilidade. Tornouse popular despois da Segunda Guerra Mundial. Esta transformación foi popularizada por Oliver Heaviside, un enxeñeiro eléctrico inglés. Outros científicos famosos como Niels Abel, Mathias Lerch e Thomas Bromwich a usaron no século XIX.

A historia completa das transformadas de Laplace pode remontarse un pouco máis ao pasado, máis concretamente a 1744. Este é cando outro gran matemático chamado Leonhard Euler estaba investigando outros tipos de integrais. Euler, no entanto, non chegou a desenvolverllo moi ledo e o deixou. Un admirador de Euler chamado Joseph Lagrange; fixo algunhas modificacións ao traballo de Euler e continuou a desenvolverllo. O traballo de LaGrange chamou a atención de Laplace 38 anos despois, en 1782, onde continuou dende onde Euler deixara. Pero non foron tres anos despois, en 1785, onde Laplace tivo unha idea de xénio e cambió a maneira de resolver ecuacións diferenciais para sempre. Continuou a traballar nela e seguiu descubrindo o verdadeiro poder da transformada de Laplace ata 1809, onde comezou a usar o infinito como condición de integral.

Método da Transformada de Laplace

Propina