Laplace-transformasjonstabell Formler Eksempler & Egenskaper
Laplace-transformasjon er en teknikk for å løse differensialligninger. Her blir først tidsdomenet formen av differensialligningen transformert til en algebraisk ligning i frekvensdomenet. Etter at den algebraiske ligningen er løst i frekvensdomenet, blir resultatet så til slutt transformert tilbake til tidsdomenet for å oppnå den endelige løsningen av differensialligningen. Med andre ord kan det si at Laplace-transformasjonen ikke er noe annet enn en hurtigmetode for å løse differensialligninger.
I denne artikkelen skal vi diskutere Laplace-transformasjoner og hvordan de brukes til å løse differensialligninger. De gir også en metode for å forme en overføringsfunksjon for et inngang-utgangssystem, men dette vil ikke bli diskutert her. De gir grunnlaget for reguleringsingeniørvitenskap, ved bruk av blokkdiagrammer osv.
Mange typer transformasjoner eksisterer allerede, men Laplace-transformasjoner og Fourier-transformasjoner er de mest kjente. Laplace-transformasjonen brukes vanligvis for å forenkle en differensialligning til en enkel og løsbar algebraoppgave. Selv når algebraen blir litt komplisert, er det fortsatt lettere å løse enn å løse en differensialligning.
Laplace-transformasjonstabell
Det er alltid en tabell tilgjengelig for ingeniøren som inneholder informasjon om Laplace-transformasjoner. Et eksempel på Laplace-transformasjonstabell er laget nedenfor. Vi vil bli kjent med Laplace-transformasjonen av ulike vanlige funksjoner fra følgende tabell.
Laplace-transformasjonsdefinisjon
Når man lærer Laplace-transformasjon, er det viktig å forstå ikke bare tabellene – men også formelen.
For å forstå Laplace-transformasjonsformelen: La først f(t) være funksjonen av t, tid for alle t ≥ 0
Da kan Laplace-transformasjonen av f(t), F(s) defineres som
Forsåvidt integralet eksisterer. Hvor Laplace-operatoren, s = σ + jω; vil være reell eller kompleks j = √(-1)
Ned sider ved Laplace-transformasjonsmetoden
Laplace-transformasjoner kan kun brukes til å løse komplekse differensialligninger, og som alle store metoder, har det en ned side, som kanskje ikke ser så stor ut. Det er, du kan kun bruke denne metoden til å løse differensialligninger MED kjente konstanter. Hvis du har en ligning uten de kjente konstantene, så er denne metoden ubrukelig, og du må finne en annen metode.
Historie av Laplace-transformasjoner
Transformasjon i matematikk handler om konvertering av én funksjon til en annen funksjon som kanskje ikke er i samme domene. Transformasjonsmetoden brukes i problemer som ikke kan løses direkte. Denne transformasjonen er oppkalt etter matematikeren og berømte astronomen Pierre Simon Laplace som bodde i Frankrike.
Han brukte en lignende transformasjon på sine tillegg til sannsynlighetsregning. Den ble populær etter andre verdenskrig. Denne transformasjonen ble gjort populær av Oliver Heaviside, en engelsk elektriker. Andre kjente forskere som Niels Abel, Mathias Lerch, og Thomas Bromwich brukte den i det 19. århundre.
Den fullstendige historien om Laplace-transformasjonene kan spores litt lenger tilbake, mer spesifikt 1744. Dette er da en annen stor matematiker kalt Leonhard Euler forsket på andre typer integraler. Euler forsøkte imidlertid ikke å drive det videre og la det bak seg. En beundrer av Euler kalt Joseph Lagrange; gjorde noen modifikasjoner av Eulers arbeid og utførte ytterligere arbeid. LaGranges arbeid fikk Laplaces oppmerksomhet 38 år senere, i 1782, der han fortsetter der Euler stoppet. Men det var ikke før 3 år senere, i 1785, at Laplace hadde en genistrek og endret måten vi løser differensialligninger for alltid. Han fortsatte å jobbe med det og fortsette å låse opp den sanne kraften av Laplace-transformasjonen frem til 1809, da han begynte å bruke uendelig som et integrasjonsbetingelse.
