Laplace-transform-tabel, Formule, Voorbeelde & Eienskappe

Laplace-transformasie is 'n tegniek vir die oplossing van differensiaalvergelykings. Hier word die differensiaalvergelyking in tydgebiedvorm eers omgeskakel na 'n algebraïese vergelyking in frekwensiegebiedvorm. Nadat die algebraïese vergelyking in die frekwensiegebied opgelos is, word die resultaat uiteindelik weer omgeskakel na tydgebiedvorm om die uiteindelike oplossing van die differensiaalvergelyking te bereik. Met ander woorde kan dit gesê word dat Laplace-transformasie niets anders is as 'n kortpadmetode om 'n differensiaalvergelyking op te los nie.

In hierdie artikel sal ons oor Laplace-transformasies en hoe hulle gebruik word om differensiaalvergelykings op te los, praat. Hulle verskaf ook 'n metode om 'n oordragfunksie vir 'n invoer-uitvoersisteem te vorm, maar dit sal hier nie bespreek word nie. Hulle verskaf die basiese boublokke vir beheer Ingenieurswese, deur blokkieskaartjies, ens. te gebruik.

Daar bestaan reeds baie tipes transformasies, maar Laplace-transformasies en Fourier-transformasies is die bekendste. Laplace-transformasies word gewoonlik gebruik om 'n differensiaalvergelyking te vereenvoudig tot 'n eenvoudige en oplosbare algebraïese probleem. Selfs wanneer die algebra 'n bietjie kompleks word, is dit steeds makliker om op te los as om 'n differensiaalvergelyking op te los.

Laplace Transform Tabel

Daar is altyd 'n tabel beskikbaar vir die ingenieur wat inligting oor Laplace-transformasies bevat. 'n Voorbeeld van Laplace transform tabel is hieronder gemaak. Ons sal te weten kom oor die Laplace-transformasie van verskeie algemene funksies uit die volgende tabel.

Laplace Transform Definisie

Wanneer jy Laplace-transformasie leer, is dit belangrik om nie net die tabelle – maar ook die formule te verstaan nie.

Om die Laplace-transformasieformule te verstaan: Laat f(t) die funksie van t, tyd vir alle t ≥ 0 wees

Dan kan die Laplace-transformasie van f(t), F(s) gedefinieer word as

Voorwaarde dat die integraal bestaan. Waar die Laplace-operator, s = σ + jω; reel of kompleks sal wees j = √(-1)

Nadele van die Laplace-Transformasie Metode

Laplace-transformasies kan slegs gebruik word om komplekse differensiaalvergelykings op te los en soos alle groot metodes het dit 'n nadeel, wat nie so groot mag lyk nie. Dit is, jy kan slegs hierdie metode gebruik om differensiaalvergelykings MET bekende konstantes op te los. As jy 'n vergelyking het sonder die bekende konstantes, dan is hierdie metode nutteloos en jy moet 'n ander metode vind.

Geskiedenis van Laplace-Transformasies

Transformasie in wiskunde gaan oor die omskakeling van een funksie na 'n ander funksie wat nie in dieselfde domein behoef te wees nie. Die transformasie-metode vind sy toepassing in daardie probleme wat direk nie opgelos kan word nie. Hierdie transformasie is vernoem na die wiskundige en bekende sterrekundige Pierre Simon Laplace wat in Frankryk geleef het.

Hy het 'n soortgelyke transformasie gebruik op sy bydraes tot waarskynlikheidsteorie. Dit het na die Tweede Wêreldoorlog gewildig. Hierdie transformasie is bekend gemaak deur Oliver Heaviside, 'n Engelse Elektriese Ingenieur. Ander bekende wetenskaplikes soos Niels Abel, Mathias Lerch, en Thomas Bromwich het dit in die 19de eeu gebruik.

Die volledige geskiedenis van Laplace-Transformasies kan 'n bietjie verder teruggevolg word, meer spesifiek na 1744. Dit was toe 'n ander groot wiskundige genaamd Leonhard Euler navorsing gedoen het oor ander tipes integrale. Euler het egter nie dit verder gevolg nie en dit gelaat. 'n Bewonderaar van Euler, genaamd Joseph Lagrange, het 'n paar wysigings aan Euler se werk gemaak en dit verder ontwikkel. Lagrange se werk het Laplace se aandag 38 jaar later, in 1782, getrek, waar hy voortgegaan het waar Euler gestop het. Maar dit was slegs drie jaar later, in 1785, waar Laplace 'n straal van genie gehad het en die manier waarop ons differensiaalvergelykings oplos, voorgoed verander het. Hy het voortgegaan om daarop te werk en die ware krag van die Laplace-transformasie ontsluit tot 1809, waar hy begin het om oneindigheid as 'n integrale voorwaarde te gebruik.