Laplace-transformationstabel, Formel, Eksempler & Egenskaber
Laplacetransformation er en teknik til løsning af differentialligninger. Her omdannes differentialligningen i tidsdomænet først til en algebraisk ligning i frekvensdomænet. Efter at have løst den algebraiske ligning i frekvensdomænet, bliver resultatet endeligt omdannet tilbage til tidsdomænet for at opnå den endelige løsning af differentialligningen. Med andre ord kan det siges, at Laplacetransformationen ikke er andet end en hurtig metode til løsning af differentialligninger.
I denne artikel vil vi diskutere Laplacetransformationer og hvordan de bruges til at løse differentialligninger. De giver også en metode til at danne en overførselsfunktion for et input-output system, men dette vil ikke blive diskuteret her. De giver de grundlæggende byggesten for reguleringsingeniørarbejde, ved hjælp af blokdiagrammer osv.
Der findes mange forskellige transformationer, men Laplacetransformationer og Fouriertransformationer er de mest kendte. Laplacetransformationerne bruges normalt til at forenkle en differentialligning til en enkel og løselig algebraopgave. Selv når algebraen bliver lidt kompliceret, er det stadig lettere at løse end at løse en differentialligning.
Laplacetransformationstabellen
Der findes altid en tabel, som ingeniøren har adgang til, og som indeholder information om Laplacetransformationer. Et eksempel på en Laplacetransformationstabel er lavet nedenfor. Vi kommer til at kende Laplacetransformationen af forskellige almindelige funktioner fra følgende tabel.
Laplacetransformationsdefinition
Når man lærer Laplacetransformationen, er det vigtigt ikke kun at forstå tabellerne - men også formlen.
For at forstå Laplacetransformationsformlen: Lad f(t) være funktionen af t, tid for alle t ≥ 0
Så kan Laplacetransformationen af f(t), F(s) defineres som
Med betingelse, at integralet eksisterer. Hvor Laplaceoperatoren, s = σ + jω; vil være reel eller kompleks j = √(-1)
Nedersider ved Laplacetransformationsmetoden
Laplacetransformationer kan kun bruges til at løse komplekse differentialligninger, og ligesom alle store metoder har den en nederside, som måske ikke ser så stor ud. Det er, at du kun kan bruge denne metode til at løse differentialligninger MED kendte konstanter. Hvis du har en ligning uden kendte konstanter, er denne metode ubrugelig, og du vil skulle finde en anden metode.
Historie af Laplacetransformationer
Transformation i matematik handler om konvertering af en funktion til en anden funktion, der muligvis ikke er i samme domæne. Transformationsmetoden finder anvendelse i problemer, der ikke kan løses direkte. Denne transformation er opkaldt efter matematikeren og berømte astronom Pierre Simon Laplace, der levede i Frankrig.
Han brugte en lignende transformation på sine tilføjelser til sandsynlighedsteorien. Den blev populær efter Anden Verdenskrig. Denne transformation blev gennemført af Oliver Heaviside, en engelsk elektrisk ingeniør. Andre berømte videnskabsmænd som Niels Abel, Mathias Lerch og Thomas Bromwich brugte den i 1800-tallet.
Den fulde historie om Laplacetransformationer kan spores lidt længere tilbage, mere specifikt til 1744. Dette var, da en anden stort set matematiker kaldet Leonhard Euler forskede på andre typer integraler. Euler fortsatte dog ikke meget med det og lod det være. En beundrer af Euler, Joseph Lagrange, gjorde nogle ændringer i Eulers arbejde og fortsatte med det. LaGranges arbejde fik Laplaces opmærksomhed 38 år senere, i 1782, hvor han fortsatte, hvor Euler slap. Men det var ikke indtil 3 år senere, i 1785, at Laplace havde en genistreg og ændrede måden, hvorpå vi løser differentialligninger for evigt. Han fortsatte med at arbejde på det og fortsatte med at låse den sande kraft af Laplacetransformationen, indtil 1809, hvor han begyndte at bruge uendelig som en integrationsbetingelse.
