Tabla de Transformada de Laplace Fórmula Ejemplos y Propiedades

La transformada de Laplace es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales. Aquí, la ecuación diferencial en forma de dominio del tiempo se transforma primero en una ecuación algebraica en forma de dominio de frecuencia. Después de resolver la ecuación algebraica en el dominio de la frecuencia, el resultado se transforma finalmente a la forma de dominio del tiempo para lograr la solución final de la ecuación diferencial. En otras palabras, se puede decir que la transformada de Laplace no es más que un método abreviado para resolver ecuaciones diferenciales.

En este artículo, discutiremos las transformadas de Laplace y cómo se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales. También proporcionan un método para formar una función de transferencia para un sistema de entrada-salida, pero esto no se discutirá aquí. Proporcionan los bloques básicos para la ingeniería de control, utilizando diagramas de bloques, etc.

Existen muchos tipos de transformaciones, pero las transformadas de Laplace y transformadas de Fourier son las más conocidas. Las transformadas de Laplace se suelen utilizar para simplificar una ecuación diferencial en un problema algebraico simple y resoluble. Incluso cuando el álgebra se vuelve un poco compleja, sigue siendo más fácil de resolver que resolver una ecuación diferencial.

Tabla de Transformada de Laplace

Siempre hay una tabla disponible para el ingeniero que contiene información sobre las transformadas de Laplace. A continuación se muestra un ejemplo de tabla de transformada de Laplace. Conoceremos las transformadas de Laplace de varias funciones comunes a partir de la siguiente tabla.

Definición de la Transformada de Laplace

Al aprender la transformada de Laplace, es importante comprender no solo las tablas, sino también la fórmula.

Para entender la fórmula de la transformada de Laplace: Primero, sea f(t) la función de t, tiempo para todo t ≥ 0

Entonces, la transformada de Laplace de f(t), F(s), se puede definir como

Siempre que la integral exista. Donde el operador de Laplace, s = σ + jω; será real o complejo j = √(-1)

Desventajas del Método de Transformada de Laplace

Las transformadas de Laplace solo pueden usarse para resolver ecuaciones diferenciales complejas y, como todos los grandes métodos, tiene una desventaja, que puede no parecer tan grande. Es decir, solo puedes usar este método para resolver ecuaciones diferenciales CON constantes conocidas. Si tienes una ecuación sin constantes conocidas, entonces este método es inútil y tendrás que encontrar otro método.

Historia de las Transformadas de Laplace

La transformación en matemáticas trata de la conversión de una función a otra función que puede no estar en el mismo dominio. El método de transformación se aplica en aquellos problemas que no se pueden resolver directamente. Esta transformación lleva el nombre del matemático y renombrado astrónomo Pierre Simon Laplace, quien vivió en Francia.

Él usó una transformación similar en sus adiciones a la teoría de la probabilidad. Se popularizó después de la Segunda Guerra Mundial. Este método de transformación fue popularizado por Oliver Heaviside, un ingeniero eléctrico inglés. Otros científicos famosos como Niels Abel, Mathias Lerch y Thomas Bromwich lo usaron en el siglo XIX.

La historia completa de las transformadas de Laplace puede rastrearse un poco más hacia el pasado, específicamente al año 1744. Esto es cuando otro gran matemático llamado Leonhard Euler estaba investigando otros tipos de integrales. Euler, sin embargo, no lo llevó muy lejos y lo dejó. Un admirador de Euler llamado Joseph Lagrange; hizo algunas modificaciones al trabajo de Euler y realizó más trabajo. El trabajo de LaGrange atrajo la atención de Laplace 38 años después, en 1782, donde continuó donde Euler lo dejó. Pero no fue hasta 3 años después, en 1785, donde Laplace tuvo un golpe de genio y cambió la forma en que resolvemos ecuaciones diferenciales para siempre. Continuó trabajando en ello y continuó desbloqueando el verdadero poder de la transformada de Laplace hasta 1809, donde comenzó a usar el infinito como condición integral.

Método de la Transformada de Laplace