लाप्लास ट्रांसफॉर्म तालिका सूत्र उदाहरण और गुणधर्म

लाप्लास रूपांतरण अवकल समीकरणों को हल करने की एक तकनीक है। यहाँ समय क्षेत्र के रूप में अवकल समीकरण पहले आवृत्ति क्षेत्र के रूप में बीजगणितीय समीकरण में रूपांतरित किया जाता है। आवृत्ति क्षेत्र में बीजगणितीय समीकरण को हल करने के बाद, परिणाम अंत में समय क्षेत्र के रूप में रूपांतरित किया जाता है ताकि अवकल समीकरण का अंतिम समाधान प्राप्त किया जा सके। दूसरे शब्दों में, यह कहा जा सकता है कि लाप्लास रूपांतरण कुछ और नहीं बल्कि अवकल समीकरण को हल करने की एक छोटी तकनीक है।

इस लेख में, हम लाप्लास रूपांतरण और इसके उपयोग पर चर्चा करेंगे, जिससे अवकल समीकरण हल किए जाते हैं। वे इनपुट-आउटपुट प्रणाली के लिए ट्रांसफर फंक्शन बनाने की एक विधि भी प्रदान करते हैं, लेकिन यह यहाँ चर्चा नहीं की जाएगी। वे नियंत्रण इंजीनियरिंग के लिए बुनियादी निर्माण तत्व प्रदान करते हैं, जैसे कि ब्लॉक आरेख आदि का उपयोग करते हैं।

पहले से ही कई प्रकार के रूपांतरण मौजूद हैं, लेकिन लाप्लास रूपांतरण और फूरियर रूपांतरण सबसे अधिक जाने-माने हैं। लाप्लास रूपांतरण आमतौर पर एक अवकल समीकरण को सरल और हल करने योग्य बीजगणितीय समस्या में बदलने के लिए इस्तेमाल किया जाता है। भले ही बीजगणित थोड़ा जटिल हो जाए, फिर भी इसे हल करना अवकल समीकरण को हल करने से आसान होता है।

लाप्लास रूपांतरण टेबल

एक टेबल उपलब्ध होता है जो इंजीनियर के लिए लाप्लास रूपांतरण के बारे में जानकारी देता है। नीचे लाप्लास रूपांतरण टेबल का एक उदाहरण दिया गया है। हम निम्नलिखित टेबल से विभिन्न सामान्य फंक्शनों के लाप्लास रूपांतरण के बारे में जान पाएंगे।

लाप्लास रूपांतरण की परिभाषा

लाप्लास रूपांतरण सीखते समय, यह महत्वपूर्ण है कि आप सिर्फ टेबलों को समझें - बल्कि सूत्र भी समझें।

लाप्लास रूपांतरण सूत्र को समझने के लिए: पहले f(t) को t, समय का फंक्शन मान लें, जहाँ t ≥ 0 के लिए सभी t के लिए

तब f(t) का लाप्लास रूपांतरण F(s) को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

जहाँ लाप्लास ऑपरेटर, s = σ + jω; वास्तविक या जटिल होगा j = √(-1)

लाप्लास रूपांतरण विधि की दुर्गुण

लाप्लास रूपांतरण केवल जटिल अवकल समीकरणों को हल करने के लिए इस्तेमाल किए जा सकते हैं और सभी महान विधियों की तरह, इसके एक दुर्गुण है, जो इतना बड़ा नहीं लगता। यह है, आप इस विधि का उपयोग केवल ज्ञात स्थिरांक वाले अवकल समीकरणों को हल करने के लिए कर सकते हैं। यदि आपके पास ज्ञात स्थिरांकों के बिना एक समीकरण है, तो यह विधि अप्रयोज्य है और आपको दूसरी विधि ढूंढनी होगी।