Πίνακας Μετασχηματισμού Laplace, Τύπος, Παραδείγματα & Ιδιότητες

Ο μετασχηματισμός Laplace είναι μια τεχνική για τη λύση διαφορικών εξισώσεων. Εδώ, η διαφορική εξίσωση σε μορφή χρόνου πρώτα μετατρέπεται σε αλγεβρική εξίσωση σε μορφή συχνότητας. Μετά τη λύση της αλγεβρικής εξίσωσης στο πεδίο συχνοτήτων, το αποτέλεσμα τελικά μετατρέπεται ξανά σε μορφή χρόνου για να επιτευχθεί η τελική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Με άλλα λόγια, μπορεί να λεχθεί ότι ο μετασχηματισμός Laplace είναι μια μέθοδος συντομευμένης λύσης διαφορικών εξισώσεων.

Σε αυτό το άρθρο, θα συζητήσουμε για τους μετασχηματισμούς Laplace και το πώς χρησιμοποιούνται για τη λύση διαφορικών εξισώσεων. Παρέχουν επίσης μια μέθοδο για τη δημιουργία μιας συνάρτησης μεταφοράς για ένα σύστημα εισόδου-εξόδου, αλλά αυτό δεν θα συζητηθεί εδώ. Παρέχουν τα βασικά στοιχεία για την μηχανική ελέγχου, χρησιμοποιώντας διαγράμματα μπλοκ κλπ.

Υπάρχουν πολλοί τύποι μετασχηματισμών, αλλά οι μετασχηματισμοί Laplace και Fourier είναι οι πιο γνωστοί. Ο μετασχηματισμός Laplace συνήθως χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει μια διαφορική εξίσωση σε ένα απλό και λύσιμο πρόβλημα άλγεβρας. Ακόμη και όταν το άλγεβρα γίνει λίγο περίπλοκο, είναι ακόμη ευκολότερο να λυθεί από τη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης.

Πίνακας Μετασχηματισμού Laplace

Υπάρχει πάντα ένας πίνακας που είναι διαθέσιμος στον μηχανικό που περιέχει πληροφορίες σχετικά με τους μετασχηματισμούς Laplace. Ένα παράδειγμα πίνακα μετασχηματισμού Laplace έχει δημιουργηθεί παρακάτω. Θα μάθουμε για τον μετασχηματισμό Laplace διάφορων κοινών συναρτήσεων από τον ακόλουθο πίνακα.

Ορισμός Μετασχηματισμού Laplace

Όταν μαθαίνετε τον μετασχηματισμό Laplace, είναι σημαντικό να κατανοήσετε όχι μόνο τους πίνακες, αλλά και την τύπο.

Για να κατανοήσετε τον τύπο μετασχηματισμού Laplace: Ας είναι f(t) η συνάρτηση του t, του χρόνου για όλα τα t ≥ 0

Τότε ο μετασχηματισμός Laplace της f(t), F(s) μπορεί να οριστεί ως

Με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα υπάρχει. Οπου ο τελεστής Laplace, s = σ + jω; θα είναι πραγματικός ή μιγαδικός j = √(-1)

Αντιξοότητες της Μέθοδου Μετασχηματισμού Laplace

Οι μετασχηματισμοί Laplace μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο για τη λύση πολύπλοκων διαφορικών εξισώσεων και, όπως όλες οι μεγάλες μέθοδοι, έχουν έναν αρνητικό παράγοντα, ο οποίος μπορεί να μην φαίνεται τόσο μεγάλος. Δηλαδή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτή τη μέθοδο μόνο για τη λύση διαφορικών εξισώσεων με γνωστές σταθερές. Εάν έχετε μια εξίσωση χωρίς γνωστές σταθερές, τότε αυτή η μέθο