جدول تبدیل لاپلاس فرمول مثال‌ها و ویژگی‌ها

تحويل لابلاس هو تقنية لحل المعادلات التفاضلية. هنا يتم تحويل المعادلة التفاضلية في مجال الزمن أولاً إلى معادلة جبرية في مجال التردد. بعد حل المعادلة الجبرية في مجال التردد، يتم في النهاية تحويل النتيجة إلى مجال الزمن لتحقيق الحل النهائي للمعادلة التفاضلية. بعبارة أخرى يمكن القول إن تحويل لابلاس لا يتجاوز طريقة مختصرة لحل المعادلة التفاضلية.

في هذا المقال، سنناقش تحويلات لابلاس وكيفية استخدامها لحل المعادلات التفاضلية. كما توفر أيضًا طريقة لتشكيل دالة نقل لنظام الإدخال والإخراج، ولكن هذا لن يتم مناقشته هنا. إنها تقدم الأدوات الأساسية للهندسة التحكم، باستخدام الرسوم البيانية بالكتل وغيرها.

توجد العديد من أنواع التحويلات ولكن تحويلات لابلاس وتحويلات فورييه هي الأكثر شهرة. عادة ما يتم استخدام تحويلات لابلاس لتبسيط المعادلة التفاضلية إلى مشكلة جبرية بسيطة وقابلة للحل. حتى عندما يصبح الجبر قليلاً معقداً، فإنه لا يزال أسهل في الحل من حل المعادلة التفاضلية.

جدول تحويل لابلاس

يوجد دائمًا جدول متاح للمهندسين يحتوي على معلومات حول تحويلات لابلاس. تم إعداد مثال عن جدول تحويل لابلاس أدناه. سنعرف عن تحويل لابلاس لمختلف الدوال الشائعة من خلال الجدول التالي.

تعريف تحويل لابلاس

عند تعلم تحويل لابلاس، من المهم فهم ليس فقط الجداول بل الصيغة أيضًا.

لفهم صيغة تحويل لابلاس: أولاً دعنا نفترض أن f(t) هي دالة الوقت t لكل t ≥ 0

ثم يمكن تعريف تحويل لابلاس لـ f(t)، F(s) كالتالي

على افتراض وجود التكامل. حيث يكون مؤشر لابلاس، s = σ + jω؛ حقيقيًا أو مركبًا j = √(-1)

عيوب طريقة تحويل لابلاس

يمكن استخدام تحويلات لابلاس فقط لحل المعادلات التفاضلية المعقدة ومثل جميع الطرق العظيمة، فإن لها عيبًا قد لا يبدو كبيرًا. وهو أنه يمكنك استخدام هذه الطريقة لحل المعادلات التفاضلية ذات الثوابت المعروفة فقط. إذا كانت لديك معادلة بدون الثوابت المعروفة، فإن هذه الطريقة غير مفيدة وستحتاج إلى البحث عن طريقة أخرى.

تاريخ تحويلات لابلاس

تعني التحويل في الرياضيات تحويل دالة إلى دالة أخرى قد لا تكون في نفس المجال. يتم استخدام طريقة التحويل في تلك المشكلات التي لا يمكن حلها مباشرة. سُمي هذا التحويل باسم العالم والفلكي الشهير بيير سيمون لابلاس الذي عاش في فرنسا.

استخدم تحويلًا مماثلاً في إضافاته إلى نظرية الاحتمالات. أصبح شائعًا بعد الحرب العالمية الثانية. أشتهر هذا التحويل بفضل المهندس الكهربائي الإنجليزي أوليفر هيفيسايد. استخدمه العلماء المشهورون الآخرون مثل نيلز آبيل وماثياس ليروتش وتوماس برومويتش في القرن التاسع عشر.

يمكن تتبع تاريخ تحويلات لابلاس بشكل أكثر تفصيلاً إلى الماضي، وبشكل أكثر تحديدًا عام 1744. هذا هو الوقت الذي كان فيه عالم رياضيات آخر عظيم يدعى ليونارد أويلر يقوم بأبحاث حول أنواع مختلفة من التكاملات. لم يستمر أويلر في البحث عنه كثيرًا وتركه. أحد المعجبين بأويلر يدعى جوزيف لاغرانج؛ قام بإجراء بعض التعديلات على عمل أويلر وأجرى المزيد من العمل. لفت عمل لاغرانج انتباه لابلاس بعد 38 عامًا، في عام 1782 حيث استمر في الاستمرار في مكان تركه أويلر. لكن لم يكن الأمر سوى 3 سنوات لاحقًا؛ في عام 1785 حيث أصاب لابلاس بفكرة عبقرية وغيّر طريقة حل المعادلات التفاضلية إلى الأبد. استمر في العمل عليها واكتشف قوة تحويل لابلاس الحقيقية حتى عام 1809، حيث بدأ في استخدام اللانهاية كشرط تكامل.

طريقة تحويل لابلاس

انعام