Tabela Laplasove transformacije Formula Primeri i osobine

Laplaceova transformacija je tehnika za rešavanje diferencijalnih jednačina. Ovdje se diferencijalna jednačina u vremenskom domenu prvo transformiše u algebarsku jednačinu u frekvencijskom domenu. Nakon rešavanja algebarske jednačine u frekvencijskom domenu, rezultat se zatim konačno transformiše u vremenski domen kako bi se postiglo konačno rešenje diferencijalne jednačine. Drugim rečima, može se reći da Laplaceova transformacija ništa više nije nego skraćeni metod rešavanja diferencijalne jednačine.

U ovom članku diskutovati ćemo o Laplaceovim transformacijama i kako se koriste za rešavanje diferencijalnih jednačina. Oni takođe pružaju metodu formiranja prenosne funkcije za ulazni-izlazni sistem, ali to neće biti diskutirano ovde. Pružaju osnovne gradivne elemente za inženjerstvo kontrole, koristeći blok dijagrame itd.

Već postoje mnoge vrste transformacija, ali Laplaceove transformacije i Fourierove transformacije su najpoznatije. Laplaceove transformacije se obično koriste da bi se diferencijalna jednačina pojednostavila u jednostavnu i rešivu algebarsku problem. Čak i kada se algebra malo komplikuje, i dalje je lakše rešiti od rešavanja diferencijalne jednačine.

Laplaceova transformaciona tabela

Uvek postoji tabela koja je dostupna inženjerima i koja sadrži informacije o Laplaceovim transformacijama. Primer Laplaceove transformacione tabele napravljen je ispod. Saznati ćemo o Laplaceovoj transformaciji različitih često korišćenih funkcija iz sledeće tabele.

Definicija Laplaceove transformacije

Kada učimo Laplaceove transformacije, važno je shvatiti ne samo tablice - već i formulu.

Da bismo razumeli formulu Laplaceove transformacije: Najpre, neka f(t) bude funkcija t, vremena za sve t ≥ 0

Tada se Laplaceova transformacija f(t), F(s) može definisati kao

Pod uslovom da integral postoji. Gdje je Laplaceov operator, s = σ + jω; može biti realan ili kompleksan, j = √(-1)

Nedostaci metode Laplaceove transformacije

Laplaceove transformacije mogu se koristiti samo za rešavanje složenih diferencijalnih jednačina i kao svi veliki metodi, imaju nedostatak, koji možda ne deluje tako velik. To je, možete koristiti ovaj metod samo za rešavanje diferencijalnih jednačina SA poznatim konstantama. Ako imate jednačinu bez poznatih konstanti, onda je ovaj metod beskoristan i moraćete pronaći drugi metod.

Istorija Laplaceovih transformacija

Transformacija u matematici se bavi konverzijom jedne funkcije u drugu funkciju koja možda nije u istom domenu. Metod transformacije nalazi primenu u problemima koji se ne mogu direktno rešiti. Ova transformacija nosi ime matematičara i uglednog astronoma Pjera Simona Laplacea, koji je živio u Francuskoj.

On je koristio sličnu transformaciju na svojim dopunama teorije verovatnoće. Postala je popularna posle Drugog svetskog rata. Ovu transformaciju je proslavio Oliver Heaviside, engleski elektroinženjer. Ostali slavni naučnici, kao što su Niels Abel, Matias Lerch i Tomas Bromwich, koristili su je u 19. veku.

Potpuna istorija Laplaceovih transformacija može se pratiti malo ranije, konkretno 1744. godine. To je kada je još jedan veliki matematičar, Leonhard Euler, istraživao druge vrste integrala. Euler, međutim, nije previše nadalje nastavio sa istraživanjem i ostavio je. Poštovatelj Eulera, Žozef Lagranž, napravio je neke modifikacije na Eulerovo rad i nastavio dalje. LaGrangeov rad privukao je pažnju Laplacea 38 godina kasnije, 1782. godine, gde je nastavio sa mjestom gdje je Euler stao. Ali tek 3 godine kasnije, 1785. godine, Laplace je imao genijalnu ideju i promenio način na koji rešavamo diferencijalne jednačine zauvijek. Nastavio je da radi na tome i nastavio da otkriva pravu snagu Laplaceove transformacije do 18